Finden Sie eine Funktion g der Form g(x)=a x^{b} 2^{c x^{2}+d x} mit geeigneten Konstanten a, b, c, d ∈ ℝ , sodass …

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen, kann mir jemand bitte helfen, auf die Funktion g zu kommen?

Danke!

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Seien \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Wir bezeichnen \( f \) und \( g \) als asymptotisch gleich für \( x \rightarrow \infty \), falls
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1 . \)
(a) Es sei
\( f(x)=(x+2)^{7} \cdot 2^{x}+2^{(x+1)^{2}}+\left(x^{5}+6 x^{2}+10\right) \cdot 2^{x^{2}} . \)

Finden Sie eine Funktion \( g \) der Form \( g(x)=a x^{b} 2^{c x^{2}+d x} \) mit geeigneten Konstanten \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \), sodass \( f(x) \) und \( g(x) \) asymptotisch gleich sind für \( x \rightarrow \infty \). Beweisen Sie für Ihre Wahl von \( g \) die asymptotische Gleichheit von \( f \) und \( g \).

Answer 1

Du klammerst den am stärksten wachsenden Term aus:

\(2^{(x+1)^2}= 2^{x^2+2x+1}\)

Damit erhältst du

\(f(x) = 2^{x^2+2x+1}\left( \underbrace{\frac{(x+2)^7}{2^{x^2+x+1}} }_{\stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}0}+ 1 + \underbrace{\frac{x^5+6x^2+10}{2^{2x+1}}}_{\stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}0} \right)\)

Damit erhältst du für \(g\):

\(g(x) = 2^{x^2+2x+1} = 2\cdot x^0\cdot 2^{x^2+2x}\)

\(\Rightarrow \boxed{a=2,\, b= 0,\, c=1,\, d=2}\)