Problem: Wie kann man hier am besten vorangehen?

Question

Aufgabe:

Problem: Wie kann man hier am besten vorangehen?

Text erkannt:

Aufgabe H6. 2 (10P)
Für $n \in \mathbb{N}$ sei $f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ definiert durch $f_{n}(x)=\sqrt{n} x^{n}$. Man zeige:
(a) $\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert in $\left(C([0,1] ; \mathbb{R}),\|\cdot\|_{1}\right)$.
(b) $\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert nicht in $\left(C([0,1] ; \mathbb{R}),\|\cdot\|_{2}\right)$.

Mit $\|\cdot\|_{p}$ bezeichnen wir die für eine stetige Funktion $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ durch $\|f\|_{p}=\left(\int \limits_{0}^{1}|f|^{p} d x\right)^{1 / p}$ definierte Norm.

Comments

Hast Du denn schon eine Idee, ob / wie die f_n punktweise konvergieren?

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Text erkannt:

Für $x \in[0,1]$ gilt:
$\begin{array}{l} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} x^{n}= \\ \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { if } 0 \leq x<1 \\ \infty & \text { if } x=1 \end{array}\right. \end{array}$

Die Folge $\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert also punktweise gegen die Funktion $f(x)=0$ für $x \in[0,1)$, aber nicht für $x=1$, da dort $f_{n}(x)$ für jede $n$ gegen $\infty$ strebt.

Ich habe diesen Ansatz

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Dann berechne doch mal

$||f_n - 0||_1$ und $||f_n - 0||_2$ (hierbei ist 0 die Nullfunktion)

und schaue was im Grenzfall $n \to \infty$ mit diesen Werten passiert.