Problem: Wie kann man hier am besten vorangehen?

Question

Aufgabe:

Problem: Wie kann man hier am besten vorangehen?

Text erkannt:

Aufgabe H6. 2 (10P)
Für \( n \in \mathbb{N} \) sei \( f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch \( f_{n}(x)=\sqrt{n} x^{n} \). Man zeige:
(a) \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert in \( \left(C([0,1] ; \mathbb{R}),\|\cdot\|_{1}\right) \).
(b) \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert nicht in \( \left(C([0,1] ; \mathbb{R}),\|\cdot\|_{2}\right) \).

Mit \( \|\cdot\|_{p} \) bezeichnen wir die für eine stetige Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) durch \( \|f\|_{p}=\left(\int \limits_{0}^{1}|f|^{p} d x\right)^{1 / p} \) definierte Norm.

Comments

Hast Du denn schon eine Idee, ob / wie die f_n punktweise konvergieren?

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Text erkannt:

Für \( x \in[0,1] \) gilt:
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} x^{n}= \\ \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { if } 0 \leq x<1 \\ \infty & \text { if } x=1 \end{array}\right. \end{array} \)

Die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert also punktweise gegen die Funktion \( f(x)=0 \) für \( x \in[0,1) \), aber nicht für \( x=1 \), da dort \( f_{n}(x) \) für jede \( n \) gegen \( \infty \) strebt.

Ich habe diesen Ansatz

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Dann berechne doch mal

\( ||f_n - 0||_1 \) und \( ||f_n - 0||_2 \) (hierbei ist 0 die Nullfunktion)

und schaue was im Grenzfall \( n \to \infty \) mit diesen Werten passiert.