Question

Wie kann ich diese Gleichung nach x lösen?

$$ f(x)=g(x)\\x^4-x^3=1-x $$

Mein erster Ansatz ist:

$$ x^4-x^3=1-x\\x^4-x^3+x=1 $$

... und da hörts schon auf. Mein nächster Gedanke wäre das x auszuklammern, aber ich weiß nicht wie es danach weiter gehen soll.

Comments

Ein GTR zeigt an:

Answer 1

Aloha :)

$$x^4-x^3=1-x\quad\big|\text{links \(x^3\) ausklammern}$$$$x^3\cdot(x-1)=1-x\quad\big|\text{rechts das Minus ausklammern}$$$$x^3\cdot(x-1)=-(x-1)$$

Nun kannst du eine Fallunterscheidung vornehmen:

1. Fall: \(x=1\)

Beide Seiten der Gleichung liefern den Wert Null, daher ist \(x=1\) eine Lösung.

2. Fall: \(x\ne1\)

Nun ist \((x-1)\ne0\), sodass wir beide Seiten der Gleichung durch \((x-1)\) dividieren können. Übrig bleibt dann:$$x^3=-1$$Diese Gleichung wird in \(\mathbb R\) nur durch \(x=-1\) gelöst.

Beide Fälle zusammen genommen, ergeben zwei Lösungen:$$x_1=-1\quad\text{und}\quad x_2=+1$$

Answer 2

Klammer mal in \(x^4-x^3=1-x\) auf der linken Seite \(x^3\) aus. Dann siehst Du eine Lösung und kannst kürzen. Danach sollte es nicht mehr schwer sein.

Answer 3

Hier kann man die Lösung sehen: x= +-1

In anderen Fällen:

Verwende ein Näherungsverfahren oder diese Formel:
https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom_vierten_Grades

Answer 4

Normal wird das in der Schule erklärt, dass man alles auf die linke Seite bringt und somit ein Polynom gleich null setzt.

x^4 - x^3 + x - 1 = 0

Wenn es ganzzahlige Lösungen gibt, dann sind das Teiler des absoluten Summanden 1. Also Probiert man -1 und +1. Beides sind Lösungen und daher kann man eine Polynomdivision oder das Horner Schema anwenden.

(x^4 - x^3 + x - 1) / (x + 1) = x^3 - 2·x^2 + 2·x - 1

(x^3 - 2·x^2 + 2·x - 1) / (x - 1) = x^2 - x + 1

Jetzt kann man die quadratische Gleichung

x^2 - x + 1 = 0 

versuchen, mit der pq-Formel zu lösen. Es gibt hier nur 2 komplexe Lösungen und keine reellen. Jetzt kann man die Lösungen noch notieren und ist fertig.

x = -1 oder x = 1 oder x = 1/2 - √3/2·i oder x = 1/2 + √3/2·i