Im welchem Zahlensystem gilt: 17^2 = 111 + 100

Question

Kann mir jemand einen Tipp geben wie man das Problem anpacken kann?

Ich würde mich über Anregungen freuen.

Dankeschön :-)

Answer 1

Gefragt ist nach der Basis b des verwendeten Zahlensystems.

Schreibt man die Gleichung unter Verwendung dieser Basis b ausführlich hin, erhält man:

( 1 * b ¹ + 7 * b ⁰ )  * ( 1 * b ¹ + 7 * b ⁰ ) = 1 * b ² + 1 * b ¹ + 1 * b ⁰ + 1 * b ² + 0 * b ¹ + 0 * b ⁰

<=> ( b + 7 ) * ( b + 7 ) = 2 b ² + b + 1

<=> b ² + 14 b + 49 = 2 b ² + b + 1

<=> b ² - 13 b - 48 = 0

Löst man diese Gleichung auf, erhält man

b₁ = - 3

b₂ = 16

Die eingangs vorgestellte Gleichung gilt also dann, wenn die Basis des verwendeten Zahlensystems b = 16 ist, also im Hexadezimalsystem.

Ob auch die Lösung b = - 3 ein Zahlensystem induziert, ob also - 3 die Basis eines Zahlensystems sein kann, darüber müsste ich bei Bedarf noch etwas nachdenken ... :-)

 

Vielleicht noch die Probe:

17₁₆ = 23₁₀ 

=> ( 17₁₆ ) ² = ( 23₁₀ ) ² = 529₁₀

111₁₆ = 273₁₀

100₁₆ = 256₁₀

=> 111₁₆ + 110₁₆ = 273₁₀+ 256₁₀ = 529₁₀

Comments

Hey Dankeschön :-)

So hatte ich es auch schon so ähnlich gemacht, aber ich habe mich immer verrechnet bei der Mitternachtsformel. Bei meiner Frage stand auch das die Basis größergleich 2 ist. Also liegst du richtig. :-)

Answer 2

Schreib die Zahlen in der Basisdarstellung: (1*b+7)²=(1*b²+1*b+1)+1*b+0*b+0 zur Basis b. Löse diese Gleichung in Abhängigkeit von b.