Aufgabe:
Hallo, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Es sei R ein Hauptidealring. Wir bezeichnen mit K := Q(R) den Quotientenkörper von R.
Wir identifizieren R mit seinem Bild in K. Sei f ∈ R\ {0}. Sei
S := {a ∈ K | ∃b ∈ R, n ∈ N mit a = b/f^n} ⊂ K.
a) Zeigen Sie dass S ein Unterring von K ist, der R enthalt.
b) Zeigen Sie, dass S ein Hauptidealring ist.
Tipp: Schneiden Sie ein Ideal I ⊂ S mit R.
c) Sei P ein Repräsentantensystem der Primelemente von R bzgl. der Assoziiertheitsrelation und
f = e∏(von i= 1bis r)pi mi mit e ∈ R^*, pi ∈ P, mi ∈ N>0, i = 1,...,r.
Zeigen Sie, dass
P \ {p1,..., pr} ein Repräsentantensystem der Primelemente von S bzgl. der Assoziiertheitsrelation ist.
Zu b habe ich schon folgende Idee:
Da R ein Hauptidealring ist und S die Lokalisierung von R bei f ist, bleibt S ein Hauptidealring. In der Lokalisierung eines Hauptidealrings an einem Element f, jedes Ideal in S hat die Form ∣ = b/f^n, b∈J,n∈N},
wobei J ein Ideal in R ist. Da R ein Hauptidealring ist, ist J von der Form J=(a) für ein a∈R. Damit ist I=(a/ f^0)
bei a muss ich zeigen, dass dass S abgeschlossen ist unter Addition, Subtraktion und Multiplikation und dass es das Nullelement und das Einselement enthält. Außerdem müssen wir zeigen, dass S das Bild von R in K enthält. Beim Ausführen des Beweis habe ich allerdings Probleme.
Für c habe ich nicht mal einen Ansatz.
Ich freue mich über Hilfe.
