Offenheit einer Menge widerlegen

Question

Habe ich das richtig gemacht?

Text erkannt:

\( X=\left\{(x, y) \in \mathbb{Q}^{2} \mid x \geqslant 0 \& y \leqslant 1\right\} \subset \mathbb{R}^{2} \)

Text erkannt:

a) Ist \( X \) offen

Wähle \( z \) B. (Q.1) EX Wern \( X \) offen wäre, muss Br(Q.1) CX gellen. Wähe o.E \( r>\frac{1}{2} \) Dann ist \( z . B \) \( (0,3 / 2) \in B_{r}(0,1) \) demn \( \|\left(0, \frac{3}{2}\right)-\left(0,1\left\|_{2}=\right\|\left(0, \frac{1}{2}\right) \|_{2}=\frac{1}{2}<r\right. \) fuir \( r>\frac{1}{2} \). Jedoch ist \( \left(0, \frac{3}{2}\right) \notin X \). Aso kann Br 0,1\( ) c X \) nicht gellen \( 2 X \) ist damit nicht often.

Comments

wiederlegen

Habe ich das richtig gemacht?

Nein, richtig wäre "widerlegen"!

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Statt o.E. arbeitest du m.E.

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Okay danke für die Korrektur. Aber ist denn das mathematische jetzt daran richtig?

Answer 1

Achte auf die Details: Richtig wäre:

Wenn \(X\) offen wäre, ist \(B_r(0,1)\subset X\) für ein \(r>0\).

Du kannst also das \(r\) nicht aussuchen, also nix mit "o.E.", sondern Du arbeitest "m.E.", das geht eben hier nicht. Du musst die Aussage mit unbekanntem \(r\) widerlegen.

Anstatt dass Du Dich am \(r\) abarbeitest, könntest Du auch einen beliebigen Punkt aus \(X\) nehmen und \(X\subset Q\times Q\) ausnutzen.

Comments

Danke! Ich habe einen neuen Ansatz, wäre das so korrekt?

Text erkannt:

a) Ist \( X \) often? Sei Xoften.

Wabhe \( (0,1) \in X \), damn \( \exists r>0 \). Br \( (0,1) \subset X \) Dam is \( \left(0,1+\frac{r}{2}\right) \in B_{r}(01) \), demn \( \left\|\left(0,1+\frac{r}{2}\right)-(0,1)\right\|_{2}=\|\left(0, \frac{r}{2} \|_{2}=\frac{r}{2}<r\right. \), jedoch ist \( \left(0,1+\frac{r}{2}\right) \notin X \), demn \( 1+\frac{r}{2}>1 \). Also ist \( \operatorname{Br}(01) \notin X \& \) damit Kamn \( X \) nicht offen sein

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Ja, das geht so. Das ist der typische Beweis dafür, dass Mengen mit Randpunkten nicht offen sind. Übrigens ist X mit \(>,<\) anstelle \(\ge, \le\) auch nicht offen. Um das zu beweisen, siehe die oben erwähnte Alternative.

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Ich danke Dir!