Finanzmathematik vorschüssig/ nachschüssig

Question

Aufgabe:

Für Ihre Rentenversorgung zahlen Sie über einen Zeitraum von 20 Jahren jedes Jahr am Anfang des Jahres einen Betrag von 10.000 Euro ein. Nach diesen 20 Jahren möchten Sie sich von dem daraus inklusive Zinsen entstandenen Betrag jährlich einen festen Betrag auszahlen lassen.

(a) Welchen Betrag haben Sie nach den ersten 20 Jahren inklusive Zinsen angespart, wenn Sie von einem Zinssatz von 10 % ausgehen?

(b) Nach diesen 20 Jahren möchten Sie den angesparten Betrag durch jährliche Auszahlungen
aufbrauchen.
Wie lange (sinnvoll auf ganze Jahre gerundet) können Sie sich am Jahresende jeweils 8.000 Euro auszahlen lassen, wenn der Zinssatz in der Auszahlungsphase 4,5 % beträgt.

Problem/Ansatz:

Guten Abend zusammen,

ich habe folgendes Problem:

Ich habe etwas Probleme bei dem unterscheiden zwischen den folgenden Formeln :

Text erkannt:

Rentenendwert vorschüssig:
\( E_{n}^{V}=R q \frac{q^{n}-1}{q-1} \)

Rentenendwert nachschüssig:
\( E_{n}^{N}=R \frac{q^{n}-1}{q-1} \)

Rentenbarwert vorschüssig:
\( B_{n}^{V}=R q \frac{1}{q^{n}} \frac{q^{n}-1}{q-1} \)

Rentenbarwert nachschüssig:
\( B_{n}^{N}=R \frac{1}{q^{n}} \frac{q^{n}-1}{q-1} \)

Ich habe bei a)  und b) folgende Lösungen:

Text erkannt:

Tere (a) Rentenendwert nachochisseg
\( E_{n}^{N}=R \cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} \)
- \( R \) dre jährliche Einzalluy \( 10.000 € \)
- \( q \) der Zinsfalctor \( (1+ \) Zinssatz), also \( q=1+0,10=1,10 \)
-n die Anzalul der Jalre (20)
\( \begin{array}{l} E_{20}^{N}=10.000 \epsilon \cdot \frac{1,10^{20}-1}{1,10-1} \\ E_{20}^{0}=572749,99 \epsilon z^{2} 572750 t \end{array} \)

Autwort: Nach 20 Jalven haben sire also ungetäh \( 572750 \in \) angespart.
(b) Rentenbarwert nachchinsig gegeben: Bn \( 572750 \in \) (angesparter Betray nach 20 Jalve
\( \begin{array}{l} R=8.000 \in \text { (jairliche Auralieling) } \\ q=1+0,045=1,045 \text { (zirsfalutor) } \end{array} \)
\( \begin{array}{l} n=\frac{\ln \left(\frac{-R}{-R+B_{n}^{0} \cdot(9-1)}\right)}{\ln (9)} \\ \ln \left(\frac{-8.000 \epsilon}{-8000 \epsilon+572750 \epsilon \cdot(1,045-1)}\right) \end{array} \)
\( \begin{array}{c} n=8,8 \\ 3=\binom{2}{0}=\left(\begin{array}{c} 2,83 \\ 0 \\ 703 \end{array}\right) \end{array} \)

kann mir jemand bei der Aufgabe und Lösung helfen?

Ich bedanke mich für jegliche Hilfe im Voraus!

Viele Grüße

Anissa

Answer 1

Rechne den Rentenendwert vorschüssig (Einzahlungsphase), setze den gleich der Formel für Rentenbarwert nachschüssig (Auszahlungsphase) und löse die Gleichung nach n auf.

Comments

a)

\(\displaystyle E_{n}^{V}=R\cdot q \cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}=10000 \cdot 1,1 \cdot \frac{1,1^{20}-1}{1,1-1}\approx 630025\)

b)

\(\displaystyle 630025=B_{n}^{N}=R\cdot \frac{1}{q^{n}} \cdot\frac{q^{n}-1}{q-1}=8000\cdot \frac{1}{1,045^{n}} \cdot\frac{1,045^{n}-1}{1,045-1} \)

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Danke für die Antwort!

Wie stelle ich am beste nach n um?

VG

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Ich würde vorher überlegen, wenn die 630025 im Jahr 4,5 % Zins abwerfen, wieviel Geld das ist.

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Hallo, was wäre das Ergebnis bei dieser Aufgabe für n? VG

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Bei mir kommt für n 8,8, also aufgerundet 9 Jahre raus stimmt das so?

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Siehe meine Bemerkung von vor 10 Minuten: Wieviel Euro Zins zu 4,5 % wird jährlich mit dem angesparten Kapital verdient?

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Das sind 28351,125€.

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So in etwa, ja.

Und wenn jährlich rund 28 Tausend dazukommen und 8 Tausend weggehen, wie lange dauert es dann, bis das Kapital verbraucht ist? Das ist n.

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Das sind dann 20351,125€. Wo muss ich denn diese Zahl einsetzen um danach nach n umzuformen? Steht dieser Wert für B?

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Etwa 20 Tausend kommen jährlich zum Kapital dazu, richtig.

Wann ist das Kapital aufgebraucht?

Du hast soeben die magische Armutverhinderungsmethode gefunden: Weniger Geld ausgeben als man Zinsen verdient.

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Ist das Kapital in 4 Jahren aufgebraucht?

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Ist das Kapital in 4 Jahren aufgebraucht?

Nein. Auch nicht nach 400 Jahren. Denn es wird immer mehr. Denn der Rentner verdient mehr Geld mit Zinsen als er oder sie ausgibt.

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Ich würde mich über eine Auflösung sehr freuen, da ich auf ganz andere Ergebnisse komme. Ich bedanke mich im Voraus.

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Die Auflösung habe ich genannt. Es gibt kein n ∈ ℝ nach dem das angesparte Alterskapital aufgebraucht sein würde.

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Wie müsste ich die Antwort mit den Rechenschritten nach n umgestellt und mit den richtigen Werten eingesetzt mathematisch aufschreiben?

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Es gibt keine Lösung.

Die Antwort lautet: "Es gibt keine Lösung, weil im Jahr mehr Zinsen verdient werden, als Kapital ausgegeben wird."

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Wie lange (sinnvoll auf ganze Jahre gerundet) können Sie sich am Jahresende jeweils 8.000 Euro auszahlen lassen...

Es gibt keine Lösung.

"Unendlich lange." wäre die Lösung.

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Müsste die a) nicht Rentenendwert nachschüssig sein?

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Nein, denn einbezahlt wird

jedes Jahr am Anfang des Jahres

Wie das Apfelmännchen geschrieben hat:

Vorschüssig bedeutet, dass die Zahlung zu Beginn einer Zinsperiode erfolgt.

Und zur Lösungsidee "unendlich lange" bitte ich zu bedenken, dass keine Renten an tote Leichen ausbezahlt werden können. Selbst wenn, und jetzt wirds vesicherungtechnisch, Rückgewähr vereinbart worden sein sollte, kriegen die Hinterbliebenen keine Rente sondern eine Kapitalleistung.

Answer 2

In Teil a) brauchst du die Formel für die vorschüssigen Zahlungen.

Vorschüssig bedeutet, dass die Zahlung zu Beginn einer Zinsperiode erfolgt.

Nachschüssig bedeutet, dass die Zahlung am Ende einer Zinsperiode erfolgt.

Answer 3

Den Rentenbarwert löst du wie folgt nach n auf:

Bn = R·(q^n - 1) / ((q - 1)·q^n)
R·(q^n - 1) / ((q - 1)·q^n) = Bn
(q^n - 1) / ((q - 1)·q^n) = Bn / R
(1 - q^(-n)) / (q - 1) = Bn / R
1 - q^(-n) = Bn * (q - 1) / R
1 - Bn * (q - 1) / R = q^(-n)
q^(-n) = 1 - Bn * (q - 1) / R
-n = LN(1 - Bn * (q - 1) / R) / LN(q)
n = - LN(1 - Bn * (q - 1) / R) / LN(q)

Das ist vereinfach deine Formel die du bei dir notiert hast. Du könntest noch im Logarithmus den Bruch mit -1 multiplizieren und erhältst

n = LN(R/(R - Bn·(q - 1))) / LN(q) = LN(8000/(8000 - 630024.99·(1.045 - 1))) / LN(1.045) = LN(-0.3931) / LN(1.045)

Beachte aber die Bemerkungen. Wenn dein angeletes Kapital jährlich mehr Zinsen generiert als du abhebst vermehrt sich das Kapital immer weiter und du kannst unendlich lange Geld abheben.

In dem Fall wird unter dem Logarithmus keine positive Zahl mehr stehen. Siehe oben.

Answer 4

a) 10000*1,1*(1,1^20-1)/0,1 = 630024,99

b) Das Geld reicht "ewig", wird sogar immer mehr, weil allein die Zinsen 630024,99*0,045 = 28351,22 betragen. Davon kann man locker 8000 Rente beziehen.

Entweder stimmt der Sparzins nicht oder der Betrag der Rente nach 20 Jahren. 10% kommt mir extrem hoch vor.

Überprüfe die Angaben!

Um bei 4,5% eine ewige Rente von 8000 zu beziehen braucht man nur ca. 178.000 (ohne Berücksichtung von Abzügen)

Tipp (wenn du die passendere Zahlen hast):

Die Gleichung: K*q^n = R*(q^n-1)/(q-1)  lässt sich angenehmer lösen,wenn an q^n substituiert durch z.

PS:

In der Realität ist bei den Zinsen die KEST und evt. weiteres zu berücksichtigen (Soli, Kirchensteuer)

In Deutschland bleiben von 100 Euro Zinsen ca. 72 übrig nach Soli (5,5%) und KiSt(8% oder 9%)

d.h. von 10% Zinsen bleiben ca 7,2% übrig. von 4,5% etwa 3,24%

Aber auch damit kann das Kapital nie aufgezehrt werden.

Es ist davon auszugehen, dass die Zahlen oder Zeiträume nicht korrekt sind oder falsch abgeschrieben wurden.

PPS: Es würde ein Schuh draus, wenn 8000 eine nachschüssiger Monatsrente wäre. Bei konformer Verzinsung ergäbe sich dann mit q= 1,045^(1/12) = Monatszinsfaktor

630025*q^n = 8000*(q^n-1)/(q-1)

q^n= z

630025*z*(q-1) = 8000z-8000

...

z= ...

n= 93,14 Monate = 7,76 Jahre