In welchem Punkt nimmt Skalarfeld höchsten und niedrigsten Wert an

Question

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Aufgabe 5 (5 Punkte)
In welchen Punkten nimmt das Skalarfeld
\( \begin{aligned} f: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto f(x, y)=x^{2} \cdot y \end{aligned} \)
auf der Menge
\( S=\left\{\vec{x}=\binom{x}{y} \in[0, \infty)^{2}: 4 x^{2}+9 y^{2}=36\right\} \)
den größten bzw. kleinsten Wert an.

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Comments

mache Dir ein Bild und beachte die Ränder

Answer 1

Aloha :)

Gesucht ist das Maximum einer Funktion \(f\) unter einer konstanten Nebenbedinung \(g\):$$f(x;y)=x^2y\quad;\quad g(x;y)=4x^2+9y^2=36=\text{const}\quad;\quad x;y\ge0$$

Gemäß Lagrange ist in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das, dass die beiden Gradienten kollinear sein müssen:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2xy}{x^2}=\lambda\cdot\binom{8x}{18y}$$

Da die Gradienten kollinear sein sollen, spannen sie keine Fläche auf. Die Fläche, die von zwei 2-dim. Vektoren aufgespannt wird, ist gleich der Determinante mit den Vektoren als Spalten. Die Forderung von Lagrange führt uns also auf:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rr}2xy & 8x\\x^2 & 18y\end{array}\right|=36xy^2-8x^3=4x\left(9y^2-2x^2\right)\implies x=0\;\lor\;9y^2=2x^2$$

Für \(x=0\) liefert die Nebenbedingung einen ersten Kandidaten für ein Extremum:$$36\stackrel!=9y^2\implies y=2\implies K_1(0;2)$$

Für \(9y^2=2x^2\) erhalten wir aus der Nebenbedingung einen weiteren Kandidaten:$$36\stackrel!=4x^2+2x^2=6x^2\implies x=\sqrt6 \implies K_2\left(\sqrt6\bigg|\frac{2\sqrt3}{3}\right)$$(Beachte, dass laut Voraussetzung \(x;y\ge0\) gelten muss.)

Einsetzen ergibt ein Minimum bei \(K_1\) und ein Maximum bei \(K_2\):$$f(0;2)=0\quad\to\text{Minimum}$$$$f\left(\sqrt6;\frac{2\sqrt3}{3}\right)=4\sqrt3\quad\to\text{Maximum}$$

Comments

da fehlt noch eine Lösung ;-)

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Das kann jeder behaupten. Wie soll diese Lösung denn lauten?

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Wie soll diese Lösung denn lauten?

\(\vec x = (3;\,0)\) es ist ein Randpunkt! Die Lösung \((0;\,2)\) fällt zufällig mit dem zweitem Rand zusammen.

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Oha, ja du hast natürlich Recht.

Durch die Einschränkungen \(x;y\ge0\) hätte ich noch die Sonderfälle \(x=0\) und \(y=0\) als mögliche Randextrema betrachten müssen.

Das habe ich übersehen, aber zum Glück warst du aufmerksam ;)

Answer 2

Es bietet sich hier an, die Bedingung aus der Menge nach \(x^2\) aufzulösen und in das Skalarfeld einzusetzen. Dann erhältst du einen Term, der nur noch von \(y\) abhängt und mit den dir bekannten Methoden auf Extrempunkte untersucht werden kann.

Wegen \( x, \,y \in [0 ; \infty) \) ist zusätzlich eine Randwertbetrachtung bei \( x=0 \) bzw. \( y=0 \) durchzuführen.

Comments

wie stellt man bei dieser Vorgehensweise sicher, dass einem nicht die Lösung \(\vec x = (0;\,2)\) durch die Lappen geht?

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Wegen \(x,\, y\in[0;\infty)\) muss das Minimum bei 0 liegen. Die Tiefpunkte lassen sich dann für \(x=0\) sowie \(y=0\) ohne großen Rechenaufwand angeben. Danke für den Hinweis.

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das ist richtig, was Du schreibst. Das war aber nicht die Intention meines Kommentars.

Mal angenommen, die Menge \(S\) wäre etwas großzüger geschnitten$$\text{z.B.:}\quad S=\left\{x \in \mathbb{R},\space y=[0,\,\infty):\space 4 x^{2}+9 y^{2}=36\right\}$$dann wäre \(\vec x =(0;\,2)\) nicht zufällig auch ein Randpunkt.

Wenn man nun \(y^2\) in der NB. isoliert und in \(f\) einsetzt, nach \(y\) ableitet und die Ableitung zu 0 setzt, genauso wie Du es vorgeschlagen hast, so findet man die beiden kritischen Punkte$$y_{0} =  \frac{2}{3}\sqrt{3} \implies \vec{x}_{0,1} = \left(\pm\sqrt{6};\, \frac{2}{3}\sqrt{3}\right)$$aber auch keine weiteren! Man kann die beiden auf Maximum oder Minimum untersuchen und wird feststellen, dass es beides Maxima sind.

Jetzt könnte man zwar darauf kommen, dass die NB eindimensional (und stetig) ist, und deswegen zwischen den beiden noch ein Minimum liegen muss. Aber wo ist es denn hin verschwunden? Und warum plumst dieses Minimum nicht aus der Rechnung? (die Frage ist rhetorisch gemeint)

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Okay, guter Einwand. Aber in deinem Fall könnte ich dann immer noch die Symmetrie in \(x\) ausnutzen und hätte dann wieder \(x\geq 0\). ;-)

Aber ich verstehe das Problem. Es ist also nicht gewährleistet, dass man tatsächlich alle Extrema findet. Unter welcher Voraussetzung funktioniert das denn? Wenn ich die Nebenbedingung nach \(y\) auflöse und das gleiche Spiel nochmal mache, dann bekomme ich auch die Lösung für \(x=0\).

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Wenn ich die Nebenbedingung nach \(y\) auflöse und das gleiche Spiel nochmal mache, ...

ich glaube genau darum kommt man nicht umhin.

Ich war ja bei der Suche nach dem Optimum schon immer Fan vom Lagrange Multiplikator (s. Antwort von Tschakabumba). Jetzt habe ich noch ein Argument mehr ;-)

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Aber auch er hat da nicht alle Lösungen gefunden, weil er den Fall \(y=0\) übersehen hat.

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ber auch er hat da nicht alle Lösungen gefunden, weil er den Fall \(y=0\) übersehen hat.

stimmt - ist aber ein anderes Thema. Das war ein Randpunkt. Um ehrlich zu sein, hatte ich die Ränder ganz zu Beginn auch nicht beachtet. Erst mit Erstellen der Graphik (s.o.) fiel es mir dann auf.

Answer 3

Vorgeplänkel:

Man kann diese Aufgabe schnell vereinfachen, wenn man weiß, dass die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen \(a\) und \(b\) so aussieht:

\(\frac {x^2}{a^2} +\frac {y^2}{b^2} = 1 \)

In deinem Fall erhältst du (teile durch 36):
\(\frac {x^2}{3^2} +\frac {y^2}{2^2} = 1 \)

Das lässt sich prima mit Polarkoordinaten beschreiben:

\((x(t),y(t) )= (3\cos t , 2\sin t ) \quad (1)\)

mit \(t\in\left[0, \frac{\pi}2\right]\), da \(x,y \geq 0\) sein soll.

Lösung:

Mit Polarkoordinaten verwandelt sich deine Funktion \(f\) so:

\(f(x(t),y(t)) = 18\cos^2 t \sin t \) mit \(t\in\left[0, \frac{\pi}2\right]\)

Wenn du noch \(\cos ^2 t = 1-\sin^2 t\) einsetzt und zwecks Schreibfaulheit \(s=\sin t\) schreibst, erhältst du folgende Funktion:

\(F(s) = 18(s-s^3)\) mit \(s \in [0,1]\)

Jetzt bestimmst du die Extremstellen von \(F\) wie üblich, und erhältst ein Maximum \(4\sqrt 3\) bei

\(s_0 = \frac{\sqrt 3}3 \stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} (x_0,y_0) = (3\sqrt{1-s_0^2} , 2s_0) = \left( \sqrt 6 , \frac 23 \sqrt 3\right)\)

Die Ränder von \([0,1]\) liefern dann das Minimum 0:
\(s=0 \stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} (3,0)\)

\(s=1 \stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} (0,2)\)

Comments

Wenn ich das mit meiner Antwort vergleiche, sehe ich da eher keine Vereinfachung.