Wahrscheinlichkeiten bei Signalübertragungen

Question

Aufgabe:

Ein Sender sendet unabhängig voneinander das Signal ”1” mit Wahrscheinlichkeit 1/5 und das Signal ”0” mit Wahrscheinlichkeit 4/5.

Die Übertragung erfolgt über einen Kanal, der das Signal ”0” mit Wahrscheinlichkeit 9/10 richtig überträgt, aber wegen Rauschens mit Wahrscheinlichkeit 1/10 zu ”1” abändert.

Das Signal ”1” wird über den Kanal mit Wahrscheinlichkeit p richtig übertragen und mit Wahrscheinlichkeit 1−p zu ”0” verfälscht.

1. Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit p mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit einer fehlerhaften Übertragung eines Signals höchstens 3/25 beträgt?

2. Sei nun p = 9/10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Signal ”1” gesendet wurde, wenn ”1” empfangen wurde?

Problem/Ansatz:

Bei 1. habe ich mich an einem Baumdiagramm orientiert und dann die Wahrscheinlichkeiten für eine fehlerhafte Übertragung nach p umgestellt.

Da habe ich p = 4/5 raus.

Bei 2. muss man (glaube ich) das Bayes-Theorem anwenden: hier habe ich 9/17 raus.

Ich bin mir bei diesen Lösungen nicht so sicher, deswegen wollte ich mal fragen, ob diese korrekt wären.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aufgabe 1 ist richtig.

P(Fehlerhafte Übertragung) = 1/5·(1 - p) + 4/5·1/10 ≤ 3/25 → p ≥ 4/5 = 0.8

Bei Aufgabe 2 habe ich etwas anderes heraus

P(1 gesendet | 1 empfangen) = 1/5·9/10/(1/5·9/10 + 4/5·1/10) = 9/13 ≈ 0.6923

Answer 2

Da habe ich p = 4/5 raus.

Passt, aber die Antwort ist strenggenommen \(p\geq \frac{4}{5}\).

hier habe ich 9/17 raus.

Das passt nicht ganz. Der Ansatz ist aber in Ordnung. Ich bekomme \(\frac{9}{13}\) heraus. Rechne das noch einmal nach.