Stanitzel mit Maroni

Question

Aufgabe:

Im Herbst 2015 erschien der folgende Artikel auf orf.at:

Maroni: 20 Prozent dürfen schlecht sein Mit dem Herbst sind auch die Maronibrater wieder zurück. Dieses Jahr gibt es in Wien etwas mehr Stände als im Vorjahr, "Maroni ist nichts anderes als Obst. 20 Prozent dürfen kaputt sein", heißt es vom Marktservice. [...] Zwei von zehn Maronis [sic] dürfen also schlecht sein. Sind es mehr, kann man sie zurückbringen oder das Marktservice einschalten.

Ein Maronibrater behauptet, dass er die Vorschrift einhält, dass also insgesamt nur 20% seiner Ware verdorben sind.

a) Sie kaufen ein Stanitzel mit 10 Maroni, davon sind aber 3 schlecht. Argumentieren Sie mathematisch, ob die Behauptung des Maronibraters daher als falsch angesehen werden kann.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, in einem Stanitzel mit 10 Maroni sogar mehr als 3 schlechte zu finden, wenn die Behauptung des Maronibraters stimmt.

c) Berechnen Sie, wie viele Maroni man mindestens kaufen muss, damit mit mindestens 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine schlechte darunter ist, wenn die Behauptung des Maronibraters stimmt.

Problem/Ansatz:

Comments

Stanitzel: von fremdländischen Menschen auch als "Tüte" bezeichnet, in Basel bekannt als "Giggli".

20 %: Laut Österreichischem Lebensmittelbuch, IV. Auflage, Codexkapitel B4/Obst werden beim Test mindestens 100 Maroni herangezogen.

Die Binomialverteilung sagt für ein 10er-Stanitzel, das aus einem Topf mit 20 % schlechten Maroni gefüllt worden ist, zur Wahrscheinlichkeit von k schlechten Maroni:

Answer 1

a) 3 von 10 sind 30%

b) Binomialverteilung: n= 10, p= 0,2, k ∈ {0,1, 2, 3}

P(X>3) = 1-P(X<=3) = 1- P(X=0) -P(X=1)-P(X=2)-P(X=3) = 0,121 = 12,1%

c) P(X>=1) = 1-P(X=0)

1-0,8^n >=0,99

n>= ln0,01/ln0,8

n= 21

Comments

Zu a): Deswegen ist die Behauptung aber nicht zwangsläufig falsch.

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Die WKT P(X=3) ist 20,13 % und damit leicht über 20%. Strenggenommen ist die Behauptung daher in diesem Fall falsch.

Bei 10.000 Mio Maroni sind im Schnitt 2130  kaputt. 130 mehr als erlaubt.

20% meint wohl "höchstens 20%", ein durchschnittl. Erfahrungswert.

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Auch das ist nicht gefragt. Nur weil die Wahrscheinlichkeit, genau 3 schlechte Maroni zu erwischen, bei knapp über 20 % liegt. Heißt das eben nicht, dass der Anteil schlechter Maroni bei höchstens 20 % liegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 20 % der Maroni schlecht sind, beträgt \(P(X\geq 3)\approx 32,22\,\%\). Es kann also in ca. einem Drittel der Fälle sein, dass eben mehr als 20 % der Maroni schlecht sind, obwohl der Anteil nur 20 % beträgt \(p=0,2\). Hier kann nun jeder für sich selbst entscheiden, ob diese Wahrscheinlichkeit ausreichend ist, die Behauptung zu widerlegen oder nicht. Für einen typischen Signifikanztest auf einem Niveau von \(\alpha=5\,\%\) würde man die Nullhypothese von \(p\leq 0,2\) erst ab 5 schlechten Maroni als widerlegt ansehen.

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. Heißt das eben nicht, dass der Anteil schlechter Maroni bei höchstens 20 % liegt.

Das hat niemand behauptet.

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Hier kann nun jeder für sich selbst entscheiden, ob diese Wahrscheinlichkeit ausreichend ist, die Behauptung zu widerlegen oder nicht.

Hier liegt ein genau definierter Einzelfall vor, ein bestimmter Brater.
Deshalb gilt auch bei a) dass 30% schlecht, was den Käufer abschrecken kann. Denn der Brater hat sich geirrt bzw. (absichtlich ??) gelogen.
Diskussion ist hier für mich beendet!

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In a) geht es um eine einzelne Stichprobe, zu der man ohne weiteres math. gar nichts sagen kann. Das ist die übliche Verwirrung mit "3 von 10" und "30%". Vlt liegt der Sinn der Aufgabe darin den Blick dafür zu schärfen.

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Genau darum geht es. Mit einer einzigen Stichprobe lässt sich eben nicht auf die Grundgesamtheit schließen. Dafür gibt es ja Hypothesentests und genau das wird auch die Intention dieser Aufgabe gewesen sein.

Bei 10.000 Mio Maroni sind im Schnitt 2130  kaputt.

Das ist übrigens falsch, denn es wird ja behauptet, dass 20 % der Maroni schlecht sind, also können es im Schnitt gar keine 2130 sein. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X=3)\) hat nämlich nichts mit dem Erwartungswert zu tun. Mal ganz davon abgesehen wäre der Anteil von 2130 bei 10.000 Mio. dann doch sehr gering. ;)

Deshalb gilt auch bei a) dass 30% schlecht, was den Käufer abschrecken kann. Denn der Brater hat sich geirrt bzw. (absichtlich ??) gelogen.

Und genau das kann man eben nicht schlussfolgern, weil es eben nur eine Stichprobe ist. Es kann aber mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 32,22 % passieren, dass in der Stichprobe mindestens 3 schlechte Maroni dabei sind, obwohl der tatsächliche Anteil nur bei 20 % liegt. Soll heißen, dass man dem Brater mit dieser Wahrscheinlichkeit Unrecht tut, wenn man ihm der Lüge bezichtigt.