Satz von Green : Vernünftig

Question

Aufgabe:

Satz von Green:

Gegeben ist die Menge

\(B := \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1, \; x + y \leq 1\}\)

und das Vektorfeld

\(\vec{v}(x, y) = x^2 + y(y - 1) \\x\)

Überprüfen Sie an diesem Beispiel den Satz von Green, indem Sie sowohl das Kurven- als auch das Flächenintegral berechnen.

Problem/Ansatz:

Das Ableiten und die Integralrechnung sind bei nicht das Problem, allerdings bin ich immer wieder überfordert mit der Frage, welche Integralgrenzen ich nehmen soll. Klarer gesagt habe ich Probleme damit, solche Aufgaben zu parametrisieren, da ich nicht wirklich daraus ablesen kann wie ich sowas parametrisieren soll.

Ich habe es mir auch aufgezeichnet . Das soll einen Kreis darstellen, wobei r= 1 ist, und bei den ersten Oktante ein Dreieck zu bilden ist.

Das Ableiten etc. habe ich gemacht (das allg. ergibt 2-2y).

Kann mir jemand zeigen und sagen, wie man sowas vernünftig parametrisiert?

Comments

Du kannst B in 2 Teile zerlegen:

1. \(x \in [-1,0], \quad y \in [-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}]\)

2. \(x \in [0,1], \quad y \in [-\sqrt{1-x^2},1-x]\)

Answer 1

Nimm zum Beipspiel für den "runden" Teil Polarkoordinaten und für den "eckigen" Teil kartesische Koordinaten.

Rand:

3/4-Kreis von (0,1) nach (1,0): \((x,y) = (\cos t, \sin t)\) mit \(t\in [\pi/2, 2\pi]\)

Strecke von (1,0) nach (0,1): \((x,y) = (1-y,y)\) mit \(y\in [0,1]\)

Bereich:

3/4-Kreisfläche: \((x,y) = r(\cos t, \sin t)\) mit \(t\in [\pi/2, 2\pi],\; r\in [0,1]\)

Dreiecksfläche: \((x,y)\) mit \(x\in [0,1]\) und \(y \in [0,1-x]\)