Gesucht uneigentliches integral mit Grenzen [1;2] f(x) = 1/wurzel aus 3(x-1)^2

Question

Ich muss ein uneigentliches integral mit den grenzen [1;2] berechnen, komme jedoch nicht auf die korrekte Lösung 3.

Das Integral lautet: f(x) = (1)/die Wurzel aus 3(x-1)^2 dx

könnt ihr mir bitte bei dieser Rechnung helfen?

Comments

ich muß nachfragen

Wurzel aus 3(x-1)²

√ [ 3 * ( x-1)^2 ]

den Ausdruck könnte man sofort umformen zu

( √ 3 ) * ( x -1 )

Ist das so gemeint ?

mfg Georg

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gemeint ist:  (1)/³√(x-1)² dx

 

Muss ich da zuest (x-1) substituieren ? 

Answer 1

$$\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ { (x-1) }^{ 2 } }  } =\frac { 1 }{ { (x-1) }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } } ={ (x-1) }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  }$$Also:$$\int { \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ { (x-1) }^{ 2 } }  } dx=\int { { (x-1) }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  } } dx }$$Substitution: u := x - 1, du = dx$$\int { { (x-1) }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  } } dx=\int { { u }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  } } du=3{ u }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }$$Rücksubstitution:$$={ 3(x-1) }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }$$also:$$\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ { (x-1) }^{ 2 } }  } dx= } \left[ { 3(x-1) }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \right] _{ 1 }^{ 2 }=3-0=3$$

Comments

@JotEs,

  es ergibt sich folgende Frage. Die Funktion ist für x = 1
nicht definiert. Dies ist eine Polstelle.
  Ist für den unteren Grenzwert jetzt

  x = 1 oder lim x-> 1(+) beim Integral einzusetzen.

  Eigentlich doch lim x -> 1(+)

  mfg Georg

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Hmm, darüber muss ich noch einmal nachdenken - aber erst morgen .-)

Answer 2

Hier mein Rechengang

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mfg Georg

Comments

Danke für deine ausführliche Antwort!

Was ich noch nicht ganz verstehe, ist, warum ich bei diesem
beispiel die untere grenze, sprich 1, als a benutze, und nicht die obere Grenze, sprich 2!!


Mfg Sophie

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Hallo Sophie,

kleiner Fehler meinerseits.

Weder die untere noch die obere Grenze brauchen angenähert
zu werden. Ich kann in das Integral sowohl x = 1 als auch x = 2
einsetzen. Beides ist möglich ( siehe Antwort JotEs ).

x = 1 ist eine Polstelle von f ( x ).
Hier würde eine Division durch 0 statfinden.
Deshalb gibt es für f ( x ) nur den Grenzwert lim x -> 1(+) geht gegen ∞.

mfg Georg

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Hallo Sophie,

  ich bleibe doch bei meiner ursprünglichen Antwort.  In der
Fragestellung taucht der falsche Integralbereich auf.

  Def-Bereich von f ( x ) = ℝ \ { 1 }

  Beim Integralbereich heißt es fälschlicherweise

  [ 1; 2 ] also einschließlich 1. Da diese nicht zum Def-Bereich gehört
muß es
  ] 1 ; 2 ] also ausschließlich 1 heißen.

 Zu deiner Frage : Limes beim unteren oder oberen Grenzwert ?

 Der Limes kann sowohl unten als auch oben auftauchen. Beispiel

  f ( x ) = 1/x^2. Def-Bereich  D = ℝ \ { 0 }

Jetzt soll das Integral für den Bereich  ] 0 ; ∞ [  gebildet werden.
_a^b ∫ f ( x ) dx
limes a -> 0(+)
limes b -> ∞

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg