Zerfallungskörper von Polynomem

Question

Hallo ich bin neu hier.

Es geht um eine Aufgabe:

Das Polynom f(x) = x^3 + 2x + 1 über dem endlichen Körper V = Z/mod(3) wird gegeben, also in V[x]. Die Aufgabe ist es dann den Zerfallungskörper von f über V zu bestimmen.

Meine Idee: f hat in V keine Nullstellen (klar). D.h. V selbst kann schon mal nicht der gesuchte Zerfallungskörper sein. Sei also y einw Nullstelle von f, dann ist f(x) = (x-y)g(x) für g(x) = x^2 + yx + y^2 + 2 über der Erweiterung V(y). Die quadratische Gleichunh g(x) = 0 hat die Diskriminante -3y^2 - 8, was aber über V gerade 1 ist, also ein Quadrat über V und damit auch V(y). Damit lässt sich f weiter über V(y) faktorisieren, also komplett faktorisieren mit Nullstellen in V(y), wodurch V(y) der Zerfallungskörper vom Grad 3 ist.

Meine Frage: Ist meine Argumentation richtig? Und wie könnte man V(y) explizit bestimmen oder ist das in dem Falle schon ausreichend? Ich freue mich auf eure Hilfe! :-)

LG.

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\(f(2) = 2^2+2\cdot 2 + 1 = 1+1+1=0\)

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\(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\) (hat eine doppelte Nullstelle in \(x=2\)). Damit zerfällt \(f\) in \(V\) bereits in Linearfaktoren.

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Ein weiterer "Sanity Check": Ist \(L\) Zerfallungskörper eines Polynoms in \(K\) von Grad \(n\), dann ist \([L\ :\ K]\) ein Teiler von \(n!\), insbesondere kann bei dir nicht \(3\) rauskommen.

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Sorry, das Polynom war hier falsch. Ist jetzt korrigiert

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Habe das Polynom falsch geschrieben. Jetzt ist es richtig

Answer 1

Dein Argument mit der Diskriminante ist korrekt.

Dabei solltest du dir aber im Klaren darüber sein, dass diese Diskriminante entsteht, indem \(g(x) = x^2+yx+y^2+2 \) in \(V(y)\) quadratisch ergänzt wird und alle auftretenden Operationen im Körper \(V(y)\) augeführt werden können.

In einer Prüfung könnte auch verlangt werden, dass du die beiden anderen Nullstellen konkret als Elemente in \(V(y)\) angibst - zum Beipiel so:
$$\bf{\text{In } V(y)\text{ gilt:}} $$$$x^2+yx+y^2+2= (x-y)^2-1 = 0\Rightarrow x-y=1 \text{ oder } x-y=2$$$$ \Rightarrow x=1+y \text{ oder } x=2+y$$

\(V(y)\) könntest du dann standardmäßig so angeben:
$$V(y) = \{x_0+x_1y+x_2y^2 \,|\, x_0,x_1,x_2 \in V\}$$

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Danke! :-) Das ist hilft mir sehr