Sei gegrüßt lieber Fragesteller! :-)
Du hast hier ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in drei Unbekannten vorliegen, wessen Lösungsraum ein affiner Unterraum des ℝ x ℝ x ℝ ist. Dieser affine Raum ist zwar eindeutig bestimmt, doch kann man ihn unterschiedlich charakterisieren.
Du löst typischerweise ein lineares Gleichungssystem mithilfe des Eliminationsverfahren, indem du die zugehörige Koeffizientenmatrix elementar bis zur Zeilenstufenform umformst. Hier ist aber dies überhaupt nicht nötig. Du kannst hier das LGS mittels Rückeinsetzten lösen. Ich mache es dir gerne einmal vor:
Aus der dritten Gleichung folgt direkt x = 5-2y.
Dies setzten wir in die erste Gleichung ein und erhalten ein lineares Gleichung in nur noch zwei Unbekannten: 4y - 3z = 6 (die modifiziere erste Gleichung stimmt nun mit der zweiten Gleichung überein, sodass wir nur noch eine Gleichung betrachten).
Diese hat die Lösung (y | z) = (0.75z + 1.5, z).
Das obige LGS hat also die Lösung
(x | y | z) = (2 - 1.5z | 0.75z + 1.5 | z), z ∈ ℝ.
Die Lösungsmenge ist dann gegeben durch
L = {(2 - 1.5z | 0.75z + 1.5 | z) : z ∈ ℝ}
Das ist ein eindimensionaler affiner Unterraum im ℝ x ℝ x ℝ und in dem Fall eine Gerade. Wir können L parametrisieren: Es gilt
L = {(2 | 1.5 | 0) + t (-1.5 | 0.75 | 1) : t ∈ ℝ}
Dann ist die Kurve
c : ℝ —> ℝ x ℝ x ℝ ,
c(t) := (2 | 1.5 | 0) + t (-1.5 | 0.75 | 1)
eine bijektive Parametrisierung auf L = c(ℝ).
Ich hoffe das hilft ein Stückchen weiter! :-)
Liebe Grüße
Detli Black
