A) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person mindestens 1 Herz Karte erhält?
Kann ich dann für die Wahrscheinlich, dass ich mindestens 1 Herz bekomme '1 - p(kein Herz)', sprich 1 - (39 / 52)4 rechnen?
Das blaue ist richtig, das rote jedoch nicht, denn das würde nur gelten, wenn mit Zurücklegen gezogen würde, wenn jemand also die vier Karten jeweils aus einem vollständigen Blatt bekäme. Hier aber bekommt jemand nacheinander vier Karten aus demselben Blatt, es legt also Ziehen ohne Zurücklegen vor.
Daher muss man hier mit der hypergeometrischen Verteilung rechnen, also
$$P(X=k)=h(k|N;M;n)=\frac { \left( \begin{matrix} M \\ k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} N-M \\ n-k \end{matrix} \right) }{ \left( \begin{matrix} N \\ n \end{matrix} \right) }$$
mit
k = 0 (Anzahl Erfolge, also erhaltene Herzkarten)
N = 52 (Anzahl aller Karten)
M = 13 (Anzahl aller Herzkarten)
n = 4 (Anzahl erhaltener Karten)
also:
$$P(X=0)=h(0|52;13;4)=\frac { \left( \begin{matrix} 13 \\ 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 39 \\ 4 \end{matrix} \right) }{ \left( \begin{matrix} 52 \\ 4 \end{matrix} \right) }=0,30381$$
und somit:
P ("mindestens eine Herzkarte") = 1 - P("keine Herzkarte")
= 1 - 0,30381 = 0,69619 ≈ 70 %
B) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person genau 3 Herz Karten erhält?
Hier ist:
k = 3 (Anzahl Erfolge, also erhaltene Herzkarten)
N = 52 (Anzahl aller Karten)
M = 13 (Anzahl aller Herzkarten)
n = 4 (Anzahl erhaltener Karten)
also:
$$P(X=3)=h(3|52;13;4)=\frac { \left( \begin{matrix} 13 \\ 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 39 \\ 1 \end{matrix} \right) }{ \left( \begin{matrix} 52 \\ 4 \end{matrix} \right) }=0,04120$$
und somit:
P ("genau drei Herzkarten") = 0,04120 ≈ 4,1 %
