Integralrechnung. ∫1^3 e^{3x}dx = 1/3e^{3x}+C und ∫1^2 (3(ln x - e^x) + 3/x) dx

Question

Unter Verwendung der Integrationsformel, der Eigenschaften des bestimmten Integrals und der im vorangehenden Abschnitt tabellierten Stammfunktionen können Sie bestimmte Integrale effektiv berechnen,

Berechnen Sie:

b) \( \int \limits_{1}^{3} e^{3 x} d x \)

d) \( \int \limits_{1}^{2}\left(3\left(\ln x-e^{x}\right)+\frac{3}{x}\right) d x \)

Vor allem bei der d) habe ich Probleme. Bei der b) habe ich eigentlich keine Probleme. Also muss ich bei der b) einfach die Integration durch lineare Substitution anwenden, da 3x linear ist und dann ist das einfach

∫₁³ e^3xdx = 1/3e^3x+C und dann noch die Grenzen einsetzen? ^^

Aber bei der d) weiß ich nicht weiter.

Comments

ja b) stimmt

bei d) einfach mal die einzelnen Summenterme getrennt betrachten und dann versuchen zu integrieren

bei int(ln(x)) aufpassen .-)

Answer 1

Hi Emre,


b) ist richtig


d) Willst Du die selbst probieren? Die sieht zwar sehr kompliziert aus, aber das ist sie nicht.

Ich schreibe sie Dir mal um:


∫ (3(ln(x) - e^x) + 3/x) dx = 3 ∫ ln(x) - e^x + 1/x dx


Nun weißt Du sicherlich noch, dass Du eine Summe auch summandenweise integrieren darfst! Und das sind 3 sehr einfache Integrale. Der erste Summand ist da noch der schwerste, den hatten wir ja aber mittlerweile schon oft genug ;).


Grüße

Comments

Hallo Unknown :)

Juuhhu b) ist richtig :)

Ich versuch das mal schnell, da ich gleich zum Bus muss ^^

Ehm also:

∫ (3(ln(x) - e^x) + 3/x) dx = 3 ∫ ln(x) - e^x + 1/x dx

also du meintest ja, dass ich diese 3 summandenweise Integrieren soll, also wird ln(x) zu x*ln(x)-x und e^x bleibt einfach e^x und 1/x Integriert ist ln(x) aber ich weiß nicht wie ich das genau aufschreiben soll, vielleicht einfach so:

∫ (3(ln(x) - e^x) + 3/x) dx = 3 ∫ ln(x) - e^x + 1/x dx
                                     = 3 ∫ x*ln(x)-x-e^x+ln(x)+C?

:)
 

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Das Integralszeichen in der letzten Zeile hat da natürlich absolut nichts verloren. Ersetze das durch eine Klammer, welche bis hinter das C zu ziehen ist.

Dann ist die Sache richtig ;). Gar nit so schwer, wat? ;)

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   = 3 ∫ x*ln(x)-x-e^x+ln(x)+C?

da du schon integriert hast  fällt das Integralzeichen weg

   = 3 (  x*ln(x)-x-e^x+ln(x) ) + c

  mfg Georg

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Ah stimmt ja ^^ Ich blödi ^^

ehm und die 3 hast du doch vors Integral geschrieben, weil es eine Konstante ist oder? :)

Und können wir den Rest später machen? Ich muss gleich den Bus nehmen :)

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int( 1/x) ist streng genommen = ln|x| + c

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Ja so ist es. Die 3 vors Integral gesetzt, da Konstant.


Können wir ;).

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@Bepprich: Darf ich fragen wieso man um x Betragsstriche setzt? :) (Ich bin noch Anfänger :D)

@Unknown: Na wenigstens wusste ich das auch:) Und oki wenn ich da bin, rechne ich die einfach zu Ende :)

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ln|x| warum ? da kommst leicht selber drauf. Schau mal wie der ln im KOS verläuft und überlege dir, was passiert, wenn man negative x-werte in die Stammfunktion einsetzen würde.

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Wenn man Betragsstriche setzt, kann x auch negativ sein. Da aber der Integrand ln x enthielt, sind negative Werte von vorn herein ausgeschlossen und die Betragsstriche sind im Resultat nicht nötig.

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Wir hatten noch keine cos oder sinus Funktionen :) Deshalb weis.ich nicht genau.was ich machen soll :)

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In diesem Fall schon, also im Speziellen ja, aber im Allgemeinen u. U nicht .-)

Ich habe mir damals in der Schule immer eingeprägt, wenn ich es mit int (1/x) dx zu tun habe, schreibe ich generell F(x) = ln|x| + c (für -oo < x < 0 , 0 > x > oo); Beitragszeichen tun in der Regel niemanden weh .-)

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Aber wenn ich die jetzt nicht setzen würde dann wäre das auch nicht schlimm oder? Oder es hätte auch nichts am Ergebnis geändert oder?

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wäre nicht schlimm .-) geht in diesem Fall in Ordnung

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Das ist jetzt zwar eine blöde Frage, aber wie setze ich die Grenzen ein???

muss ich erstmal eine Sache ausrechnen und dann die ganzen Kommazahlen aufschreiben??

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Stammfunktion
3  (  x*ln(x)-x-e^x+ln(x) ) + c
mit Grenzen ( das c entfällt weil c - c )
3 [  x * ln ( x ) - x - e^x + ln ( x ) ]₁²

3 [  2 * ln ( 2 ) - 2 - e² + ln ( 2 ) ] - 3 [  1 * ln ( 1 ) - 1 - e¹ + ln ( 1 ) ]

Nur noch ausrechnen.

mfg Georg

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Ja so hatte ich das auch aber hab mich dann wohl vertippt beim TR ^^