Wahrscheinlichkeit! Maschinenteile!

Question

In einer Fabrik werden Maschinenteile produziert, wobei der Ausschuss bei 5% liegt.

Bei einer Qualitätskontrolle werden 10 Teile untersucht.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

a)  höchstens ein fehlerhaftes Teil dabei ist

b) genau 8 funktionierende Teile dabei sind?

zusammen!

Haben vor kurzem mit Wahrscheinlichkeit angefangen.....

Ich gehe also sehr jungfräulich an das Thema ran...

Bei der Aufgabe ist mir unklar wie ich sie angehen soll!
Wahrscheinlichkeitsbaum, Formel, n?,k?........

Ich meine das n= 10 ist , weil ja 10 Teile untersucht werden! k wäre ja dann 5% also 0.5 oder?
Wie geht es dann weiter....

bitte um Hilfe mit ausgiebiger Erklärung!

thx

Answer 1

 

für Aufgaben dieser Art nutzt man die Binomialverteilung:

P(X = k) = (n über k) * p^k * (1 - p)^n-k

p ist hierbei die Einzelwahrscheinlichkeit eines "Treffers", (1 - p) ist die Wahrscheinlichkeit eines "Nichttreffers".

(n über k) schließlich trägt dem Umstand Rechnung, dass die Treffer bzw. Nichttreffer an verschiedenen Stellen auftreten können.

 

Rechnen wir das einmal mit Deinen konkreten Zahlen:

p(fehlerhaft) = 0,05

Also ist

p(funktionierend) = 1 - p(fehlerhaft) = 1 - 0,05 = 0,95

Logisch, weil ein Teil entweder fehlerhaft oder funktionierend ist: Die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1.

 

a) Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein fehlerhaftes Teil dabei ist.

Das ist die W., dass kein fehlerhaftes Teil dabei ist + die W., dass genau ein fehlerhaftes Teil dabei ist.

P(X = 0) = (10 über 0) * 0,05⁰ * 0,95¹⁰ = 10!/(0! * (10-0)!) * 0,05⁰ * 0,95¹⁰ = 1 * 1 * 0,95¹⁰ ≈ 0,5987 = 59,87%

P(X = 1) = (10 über 1) * 0,05¹ * 0,95⁹ = 10!/(1! * (10-1)!) * 0,05¹ * 0,95⁹ = 10 * 0,05 * 0,95⁹ ≈ 0,3151 = 31,51%

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein fehlerhaftes Teil dabei ist P(X ≤ 1) ist also P(X = 0) + P(X = 1) ≈

59,87% + 31,51% = 91,38%

 

b) genau 8 funktionierende Teile dabei sind?

Wird nach dem gleichen Schema berechnet:

P(X = 8) = (10 über 8) * 0,95⁸ * 0,05² = 10!/(8! * (10-8)!) * 0,95⁸ * 0,05² = 45 * 0,95⁸ * 0,05² ≈ 0,0746 = 7,46%

 

Wenn Du Zeit und Lust hast, rechne doch einmal P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X =10) aus, und Du wirst als Summe ca. 1 = 100% erhalten - "ca." wegen der Rundungsfehler :-)

 

Besten Gruß

Comments

vielen Dank für die super ausführliche Erklärung...

noch eine frage n über k..

das n 10 ist,ist klar aber k 0 ?????

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Sehr gerne!

n ist 10, weil insgesamt 10 Teile untersucht werden.

k ist dann die gefragte Anzahl der Treffer oder Nichttreffer.

Angenommen, X bezeichne die Anzahl der funktionierenden Teile.

Dann bedeutet

P(X = 0) die W., dass kein funktionierendes Teil in der Stichprobe ist; dafür gibt es

(10 über 0) = 10!/(0! * 10!) = 1 mögliche Anordnung.

P(X = 1):

(10 über 1) = 10!/(1! * 9!) = 10 mögliche Anordnungen, denn das funktionierende Teil kann entweder

an 1. Stelle gezogen werden oder an 2. Stelle oder an 3. Stelle ... oder an 10. Stelle.

P(X = 2):

(10 über 2) = 10!/(8! * 2!) = 45 mögliche Anordnungen, denn die beiden funktionierenden Teile können gezogen werden an

1. und 2. Stelle, 1. und 3. Stelle, 1. und 4. Stelle, ... , 2. und 3. Stelle, 2. und 4. Stelle, ... , 9. und 10. Stelle

Das sind insgesamt 45 Möglichkeiten, und da hilft der Binomialkoeffizient (n über k) bzw. in diesem Falle (10 über 2) für die Berechnung schon enorm weiter :-)