Sei A eine obere Dreiecksmatrix mit a1,1, a2,2, · · · , an,n auf der Diagonalen. Zeige: det(A) = a1,1 · · · an,n.

Question

1. Sei A eine obere Dreiecksmatrix mit a1,1, a2,2, · · · , an,n auf der Diagonalen:

$$ A = \left( \begin{array} { c c c c } { a _ { 1,1 } } & { a _ { 1,2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 , n } } \\ { 0 } & { a _ { 2,2 } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { a _ { n - 1 , n } } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { a _ { n , n } } \end{array} \right) $$

Zeigen Sie, dass det(A) = a1,1 · · · an,n.

2. Sei A eine untere Dreiecksmatrix mit a1,1, a2,2, · · · , an,n auf der Diagonalen:

$$ A = \left( \begin{array} { c c c c } { a _ { 1,1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { a _ { 2,1 } } & { a _ { 2,2 } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { a _ { n , 1 } } & { \cdots } & { a _ { n , n - 1 } } & { a _ { n , n } } \end{array} \right) $$

Zeigen Sie, dass det(A) = a1,1 · · · an,n.

Ich hänge schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe und es wäre wirklich toll, wenn sie mir jemand lösen könnte.

Comments

Ich habe gerade bei google gesucht und dort führt jemand den Beweis zu 1.) per Induktion nach n. Gibt es noch eine andere denkbare Lösung dazu? Was Induktion angeht, bin ich nicht allzu fit :/

Answer 1

1. Beweis per Induktion nach n:

I.A.: n=1: A₁=(a_1,1) => det(A₁)=a_1,1

I.S.: n->n+1

$$ { A }_{ n+1 }=\begin{pmatrix} { a }_{ 1,1 } & ... & { a }_{ 1,n+1 } \\ ... & { a }_{ 1,1 } & ... \\ 0 & ... & { a }_{ n+1,n+1 } \end{pmatrix} $$

Entwicklung nach letzter Zeile:

$$ det({ A }_{ n+1 })={ a }_{ n+1,n+1 }·{ (-1) }^{ n+1+n+1 }det({ A }_{ n })\\ ={ a }_{ n+1,n+1 }·1·{ a }_{ 1,1 }{ a }_{ 2,2 }...{ a }_{ n,n }\\ ={ a }_{ 1,1 }{ a }_{ 2,2 }...{ a }_{ n,n }{ a }_{ n+1,n+1 } $$

2. Es gilt

det(B_n)=det(B^T_n)=det(A_n).

Daher folgt die Behauptung aus 1.