Exponentialgleichung lösen

Question

Wie geht das ??

 

Löse die Exponentialgleichung

 

9e^-x+9e^x-82=0

 

e/2-e^t-x=0

 

Danke

Answer 1

Substituiere $$z:=e^x$$ multipliziere die Gleichung mit z und löse die entstehende quadratische Gleichung mit einer Methode deiner Wahl.

Answer 2

9e^-x+9e^x-82=0

Durch 9 dividieren:

<=> e^-x+ e^x - ( 82 / 9 ) = 0

mit e ^x multiplizieren:

<=> 1 + e^2x - ( 82 / 9 ) e^x = 0

<=> e^2x - ( 82 / 9 ) e^x = - 1

Substitution: u = e ^x

<=> u² - ( 82 / 9 ) u = - 1

Auf beiden Seiten quadratische Ergänzung addieren:

<=> u² - ( 82 / 9 ) u + ( 41 / 9 ) ² = ( 41 / 9 ) ² - 1 = ( 40 / 9 ) ²

<=> u - ( 41 / 9 ) = ± ( 40 / 9 )

<=> u = ( 81 / 9 ) = 9 oder u = ( 1 / 9 )

Rücksubstitution:

e ^x = ( 81 / 9 ) = 9 oder e ^x = ( 1 / 9 )

<=> x = ln ( 9 ) oder x = ln ( 1 / 9 ) = ln ( 1 ) - ln ( 9 ) = - ln ( 9 )

 

e / 2 - e ^{t - x} = 0

<=> e ^{t - x} = e / 2

<=> t - x = ln ( e / 2 ) = ln ( e ) - ln ( 2 ) = 1 - ln ( 2 )

<=> x = t - 1 + ln ( 2 )