Betrachten Sie den folgenden, umgangssprachlich formulierten Ausdruck.

Question

Im folgenden betrachten wir natürliche Zahlen m,n,i. Hier gilt: Für m gibt es immer ein n so, dass alle i, die zwischen m und n liegen, Quadratzahlen sind.1. Wandeln Sie den Ausdruck in eine prädikatenlogische Formel um. 2. Negieren Sie die von Ihnen gefundende Formel und geben Sie das Resultat sowohl als Formel als auch in umgangssprachlicher Form an. 3. Wenden Sie solange geeignete deMorganschen Regeln auf die negierte Formel an, bis die Negationen möglichst weit ‘innen’ in der neuen Formel liegen. 4. Dabei sollen Sie auch das Prädikat ‘ist Quadratzahl’ geeignet durch eine Formel erset-zen.

Answer 1

1)

Sei Q ( x ) das Prädikat "x ist eine Quadratzahl". 

Dann lautet die umgangssprachliche Aussage der Aufgabenstellung in Prädikatenlogik so:

∀_m ∃_{n > m}  ∀_{i mit m < i < n} Q ( i )

 

2)

Negation:

¬ ( ∀_m ∃_{n > m}  ∀_{i mit m < i < n} Q ( i )  )

Für m gibt es nicht immer ein n so, dass alle i, die zwischen m und n liegen, Quadratzahlen sind.

 

3)

¬ ( ∀_m ∃_{n > m}  ∀_{i mit m < i < n} Q ( i )  )

<=>

∃_m( ¬ ( ∃_{n > m}  ∀_{i mit m < i < n} Q ( i ) )

<=>

∃_m ∀_{n > m}¬ (  ∀_{i mit m < i < n} Q ( i ) )

<=>

∃_m ∀_{n > m}  ∃_{i mit m < i < n} ¬ Q ( i )

 

4)

Q ( i ) kann geschrieben werden als:

∃ _{k ∈ N} i = k ²

Setzt man dies in die letzte Formel von 3 ein, so erhält man:

∃_m ∀_{n > m}  ∃_{i mit m < i < n} ¬ ( ∃ _{k ∈ N} i = k ² )

<=>

∃_m ∀_{n > m}  ∃_{i mit m < i < n}  ∀ _{k ∈ N} i ≠ k ²