Question

(a^{4 x}-a^4)/(a^{x-1}+1) Potenz

Wo ist der Denkfehler?

Danke.

Answer 1

Du hast den Bruch völlig falsch zerlegt!

Man darf nicht einfach den Nenner "auseinanderreißen"!

Richtig wäre:

$$\frac { { a }^{ 4x }-{ a }^{ 4 } }{ { a }^{ x-1 }+1 } =\frac { { a }^{ 4x } }{ { a }^{ x-1 }+1 } -\frac { { a }^{ 4 } }{ { a }^{ x-1 }+1 }$$


EDIT (wegen der besseren Lesbarkeit hier in der Antwort und nicht als Kommentar):

Ich denke mit obiger Zerlegung kommt man nicht recht weiter. Ich hab's mal so gemacht:

$$\frac { { a }^{ 4x }-{ a }^{ 4 } }{ { a }^{ x-1 }+1 }$$Den Zähler gemäß dritter binomischer Formel zerlegen:$$=\frac { { \left( { a }^{ 2x }-{ a }^{ 2 } \right) \left( { a }^{ 2x }+{ a }^{ 2 } \right)  } }{ { a }^{ x-1 }+1 }$$Den ersten Faktor des Zählers nochmals gemäß dritter binomischer Formel zerlegen:$$=\frac { { \left( { a }^{ x }-{ a } \right) \left( { a }^{ x }+{ a } \right) \left( { a }^{ 2x }+{ a }^{ 2 } \right)  } }{ { a }^{ x-1 }+1 }$$Den Bruch mit a erweitern:$$=\frac { a{ \left( { a }^{ x }-{ a } \right) \left( { a }^{ x }+{ a } \right) \left( { a }^{ 2x }+{ a }^{ 2 } \right)  } }{ { a\left( { a }^{ x-1 }+1 \right)  } }$$Den Nenner ausmultiplizieren:$$=\frac { a{ \left( { a }^{ x }-{ a } \right) \left( { a }^{ x }+{ a } \right) \left( { a }^{ 2x }+{ a }^{ 2 } \right)  } }{ { { a }^{ x }+a } }$$Mit a ^x + a kürzen:$$=a{ \left( { a }^{ x }-{ a } \right) \left( { a }^{ 2x }+{ a }^{ 2 } \right)  }$$Ausmultiplizieren:$$=\left( { a }^{ x+1 }-{ { a }^{ 2 } } \right) \left( { a }^{ 2x }+{ a }^{ 2 } \right)$$$$={ a }^{ x+1+2x }-{ a }^{ 2+2x }+{ a }^{ x+1+2 }-{ a }^{ 4 }$$$$={ a }^{ 3x+1 }-{ a }^{ 2x+2 }+{ a }^{ x+3 }-{ a }^{ 4 }$$

Comments

Und wie sehen die Schritte danach aus, sodass ich mich den Potenzgesetzen bedienen kann?
 +1 stört.

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Siehe EDIT in meiner Antwort.

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Sehr ausführlich und verständlich. Vielen vielen Dank. Richtig gut.
Das ist die letzte Aufgabe meines Aufgabensatzes gewesen, wahrscheinlich deswegen komplexer als die vorhergegangenen.
Nichtsdestotrotz frage ich mich, ob es in noch weniger Schritten geht ...

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Nun, es geht auch in einem Schritt - die Frage ist nur, ob dieser nachvollziehbar ist :-)

Im Ernst: Es steht dir natürlich frei, kürzere Rechenwege zu suchen. Ich finde meinen Weg allerdings schon recht kurz.