Question

Ein Glücksrad hat 5 gleich grosse Sektoren, von denen 3 weiss und 2 rot sind. 

1) Das Glücksrad wird zweimal gedreht. erscheint in beiden Fällen Rot, so erhält man 5£ ausgezahlt, erscheint in beiden Fällen Weiss, so erhält man 2 £. Ansonsten erfolgt keine Auszahlung. Bei welchem Einsatz ist das spiel fair?

2) Wie oft muss das Rad mindestens gedreht werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Rot zu drehen, wenigstens 95% beträgt?

Answer 1

1)

Ein Gewinnspiel ist fair, wenn der Erwartungswert für die Gewinnsumme gleich dem Einsatz ist.

Vorliegend gilt:

P ( 5 Euro ) = ( 2 / 5 ) * ( 2 / 5 ) = 4 / 25

P ( 2 Euro ) = ( 3 / 5 ) * ( 3 / 5 ) = 9 / 25

P ( 0 Euro ) = 25 / 25 - 13 / 25 = 12 /25

Der Erwartungswert für die Gewinnsumme ist:

E = 5 * ( 4 / 25 ) + 2 * ( 9 / 25 ) + 0 * ( 12 / 25 ) = 38 / 25

Das Spiel ist also fair, wenn der Einsatz 38 / 25 = 1,52 Euro beträgt.

 

2)

P ("mindestens ein mal Rot in n Versuchen") ≥ 0,95

<=> 1 - P("kein mal Rot in n Versuchen") ≥ 0,95

<=> P("kein mal Rot in n Versuchen") ≤ 0,05

Mit P("Rot") = 2 / 5 ergibt sich (Binomialverteilung):

<=> ( n über 0 ) * ( 2 / 5 ) ⁰ * ( 1 - ( 2 / 5 ) ) ^{n - 0} ≤ 0,05

<=> ( 3 / 5 ) ⁿ ≤ 0,05

<=> log ( ( 3 / 5 ) ⁿ ) ≤ log ( 0,05 )

<=> n * log ( 3 / 5 ) ≤ log ( 0,05 )

Division durch log ( 3 / 5 ).
Da log ( 3 / 5 ) negativ ist, muss dabei das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden!

<=> n ≥ log ( 0,05 ) / log ( 3 / 5 )

<=> n ≥ 5,8...

Es muss also mindestens 6 mal gedreht werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein mal Rot zu erzielen, mindestens 95 % beträgt.

Comments

Versprechen erfüllt :-)