Warum können die Geraden nicht identisch oder parallel sein? g: X=(-2/1/-t)+r(2/4/-1) und h: X=(4t/6/2)+s(-2/-1/1)

Question

g, : X = (-2/1/-t) + r(2/4/-1) und h, : x = (4t/6/2) + s (-2/-1/1)

a) warum können sie nicht identisch oder parallel sein?

b) Für welche Werte von t schneiden sich die Geraden?

Answer 1

g, : X = (-2/1/-t) + r(2/4/-1) und h, : X = (4t/6/2) + s (-2/-1/1)

a) warum können sie nicht identisch oder parallel sein?

Dazu müssten die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sein.

k*(2,4,-1) = (-2,-1,1)

Geht schon nicht, weil k=-1 wäre wegen (I) 2k = -2.

Aber -1*4 ≠ - 1.

b) Für welche Werte von t schneiden sich die Geraden?

Dazu müsste der Verbindungsvektor v von (-2/1/-t) und  (4t/6/2) in der gleichen Ebene liegen wie (2,4,-1) und (-2,-1,1).

v = (4t + 2 | 6 - 1 | 2 + t) = (4t + 2 | 5 | 2+t)

2a - 2b = 4t + 2
4a - b = 5
-a + b = t + 2

Das ist nun ein LGS mit 3 Unbekannten. Dich interessiert t. Rechne erst mal genau nach, korrigiere und versuche a und b zu eliminieren.

Falls bis hier ok. Fortsetzung so:

2a - 2b = 4t + 2        |:2
4a - b = 5
-a + b = t + 2

a - b = 2t + 1        (I')
-a + b = t + 2        (III)
------------------+

0 = 3t + 3

==> t = -1

Answer 2

g, : X = (-2/1/-t) + r(2/4/-1) und h, : x = (4t/6/2) + s (-2/-1/1)

a) warum können sie nicht identisch oder parallel sein?

Damit die beiden Geraden identisch sind, müssten sie zunächst einmal parallel sein. Untersuchen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden.

(2|4|-1) * x = (-2|-1|1)

2 * x = -2 | also x = -1

Zweite Gleichung:

4 * (-1) = -4 ≠ -1

Weil also der eine Richtungsvektor nicht kollinear zum zweiten Richtungsvektor ist (kein Vielfaches, identisch oder ein Teil von ihm), sind die beiden Geraden nicht einmal parallel, also erst recht nicht identisch!


b) Für welche Werte von t schneiden sich die Geraden?

(-2|1|-t) + r * (2|4|-1) = (4t|6|2) + s * (-2|-1|0)

Drei Gleichungen, drei Unbekannte:

-2 + 2r = 4t - 2s | oder 2r + 2s - 4t = 2

1 + 4r = 6 - s | oder 4r + s = 5

-t - r = 2 | - r - t = 2

r ≈ 0,1951219512

s ≈ -3,58536585

t ≈ -2,1951219512

Diese Variablen kann man anhand des obigen Gleichungssystems natürlich genau ausrechnen: Eine schöne Aufgabe für Dich :-)


Besten Gruß