Lineare Funktionen. Stimmt: Liegt P auf Graph von f und g, dann liegt P auf (f+g)(x)?...

Question

Wahr oder falsch?

a) Liegt der Punkt P sowohl auf dem Graphen der Funktion \( f \) mit \( f(x)=m x+b \) und der Funktion g \( \operatorname{mit} g(x)=n x+c \), dann liegt er auch auf dem Graphen \( \operatorname{von}(f+g)(x) \).

b) Liegt der Punkt P sowohl auf dem Graphen der Funktion \( f \) mit \( f(x)=m x+b \) und der Funktion g \( \operatorname{mit} g(x)=n x+c \), dann liegt er auch auf dem Graphen von \( (f \bullet g)(x) \).

c) Es gibt keine Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{m} \mathrm{x}+\mathrm{b} \), die Umkehrfunktion von \( \mathrm{g} \operatorname{mit} \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{n} \mathrm{x}+\mathrm{c} \) ist
und deren Graph orthogonal zu g verläuft.

d) Es existiert keine Funktion \( \mathrm{f} \operatorname{mit} \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{m} \mathrm{x}+\mathrm{b} \), deren Graph und der Graph der Umkehrfunktion einen \( 45^{\circ} \) Winkel einschließen.

e) Die Umkehrfunktion zu einer antiproportionalen Funktion ist eine proportionale Funktion.

Answer 1

a) ist falsch.

Gegenbeispiel:

Der Punkt ( 4 | 14 ) liegt sowohl auf dem Graphen der Funktion

f ( x ) = 2 x + 6

als auch auf dem Graphen von

g ( x ) = 3 x + 2 .

Er liegt aber nicht auf dem Graphen von

( f + g ) ( x ) =  2 x + 6 + 3 x + 2 = 5 x + 8

denn 5 * 4 + 8 = 28 ≠ 14

 

b) ist auch falsch.

Gegenbeispiel (wie bei a) ) :

Der Punkt ( 4 | 14 ) liegt sowohl auf dem Graphen der Funktion

f ( x ) = 2 x + 6

als auch auf dem Graphen von

g ( x ) = 3 x + 2 .

Er liegt aber nicht auf dem Graphen von

( f * g ) ( x ) = ( 2 x + 6 ) * ( 3 x + 2 ) = 6 x ² + 22 x + 12

denn 6 * 4 ² + 22 * 4 + 12 = 8 = 196 ≠ 14

 

Sowohl a) als auch b) können nur dann gelten, wenn der Punkt P ( xp | yp ) die zusätzliche Bedingung yp = 0 erfüllt, also auf der x-Achse liegt.

 

c) ist wahr.

Bestimmt man die Umkehrfunktion f ( x ) von g ( x ):

y = g ( x ) = n x + c 

<=> y - c = n x

<=> x = ( y - c ) / n

Vertauschen der Variablen:

=> y = ( x - c ) / n = ( 1 / n ) * x - ( c / n ) = f ( x )

so sieht man, dass diese die Steigung 1 / n hat. 

Das Produkt der Steigungen von g ( x ) und ihrer Umkehrfunktion f ( x ) ist also:

n * ( 1 / n ) = 1

Zwei Geraden verlaufen jedoch dann und nur dann orthogonal, wenn das Produkt ihrer Steigungen den Wert - 1 hat. Daher verlaufen f ( x ) und g ( x ) nicht orthogonal zueinander. 

Aufgrund der allgemeingültigen Berechnung gilt dies für alle Funktionen f ( x ) und ihre Umkehrfunktionen g ( x ). Somit ist also die Aussage, dass es keine Funktion f der Form  f ( x ) = m x + b gäbe, deren Graph mit dem Graphen ihrer Umkehrfunktion einen Winkel von 90 ° einschlösse, wahr.

 

d) ist falsch.

Für eine Funktion f ( x ) = m x + b  und ihre Umkehrfunktion g ( x ) = n x + c gilt, wie unter c) gezeigt:

n = 1 / m

Damit f und g im Winkel von 45 ° zueinander verlaufen, muss außerdem gelten:

arctan ( m ) - arctan ( n ) = 45 °

Setzt man n = 1 / m ein, erhält man:

arctan ( m ) - arctan ( 1 / m ) = 45 °

Löst man nach m auf ( das kann z.B. ein geeigneter Rechner (etwa WolframAlpha) erledigen), so erhält man die beiden Lösungen:

m₁ = 1 - √ 2

sowie

m₂ = 1 + √ 2

Also:

Die Funktionen

f₁ ( x ) = ( 1 - √ 2 ) x + b und ihre Umkehrfunktion g ( x ) = ( 1 / ( 1 - √ 2 ) x + b / ( 1 - √ 2 )

sowie

f₂ ( x ) = ( 1 + √ 2 ) x + b und ihre Umkehrfunktion g ( x ) = ( 1 / ( 1 + √ 2 ) x + b / ( 1 + √ 2 )

mit beliebig gewähltem b verlaufen jeweils zueinander im Winkel von 45 ° .

 

Somit ist also die Aussage, dass es keine Funktion f der Form  f ( x ) = m x + b gäbe, deren Graph mit dem Graphen ihrer Umkehrfunktion einen Winkel von 45 ° einschlösse, falsch. Tatsächlich gibt es eine solche Funktion (sogar zwei).

 

e) ist falsch

Sei die Funktion f ( x ) eine antiproportionale Funktion, dann hat sie die Form:

y = f ( x ) = p / x

Umkehrfunktion g ( x ) bestimmen:

<=> y * x = p

<=> x = p / y

Variablen vertauschen:

y = p / x = g ( x )

Man erkennt: g ( x ) ist eine antiproportionale Funktion.

Also: Wenn f ( x ) eine antiproportionale Funktion ist, dann ist auch die Umkehrfunktion g ( x ) eine antiproportinale Funktion ( und es gilt sogar: f ( x ) = g ( x ) ).

Answer 2

a) ist Falsch. Der Schnittpunkt von f(x) und g(x) befindet sich nicht zwangsweise auf f(x) + g(x)

b) ist Falsch. Der Schnittpunkt von f(x) und g(x) befindet sich nicht zwangsweise auf f(x) * g(x)

c) Ist Wahr.

d) Ist Falsch.

e) Ist Falsch.

Comments

zu c)

Die Umkehrfunktion von

y = g ( x ) = - x + b 

ist

y = f ( x ) = - x + b

f und g sind also identisch, also auch ihre Graphen. Diese können also nicht orthogonal zueinander verlaufen.

zu d)

Der Graph der Funktion

f ( x ) = ( 1 + √ 2 ) x + b

hat eine Steigung von

arctan ( 1 + √ 2 ) = 67,5 °

Der Graph der Umkehrfunktion von f ( x ) , nämlich

g ( x ) = ( x - b ) / ( 1 + √ 2 ) = ( 1 / ( 1 + √ 2 ) ) x - b / ( 1 + √ 2 )

hat eine Steigung von

arctan ( 1 / ( 1 + √ 2 ) ) = 22,5 °

Somit schließen die beiden Graphen einen Winkel von

67,5 ° - 22,5 ° = 45 ° ein.

Daher ist die Aussage d, dass es keine solche Funktion f gäbe, falsch.

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Ja du hast völlig recht. Wenn man sich das ganze Skizziert wird es auch deutlich.