$$\sum _{ k=8 }^{ 80 }{ (400-9k) }$$Zerlegen in zwei Teilsummen$$=\sum _{ k=8 }^{ 80 }{ 400-\sum _{ k=8 }^{ 80 }{ 9k } }$$Konstante Faktoren vor die Summen ziehen:$$=400\sum _{ k=8 }^{ 80 }{ 1-9*\sum _{ k=8 }^{ 80 }{ k } }$$Indextransformation bei der ersten Summe (nicht unbedingt erforderlich, aber anschaulicher):$$=400\sum _{ k=1 }^{ 73 }{ 1-9*\sum _{ k=8 }^{ 80 }{ k } }$$Erste Summe ausrechnen$$=400*73-9\sum _{ k=8 }^{ 80 }{ k }$$Zweite Summe "geschickt" zerlegen:$$=29200-9\left( \sum _{ k=1 }^{ 80 }{ k-\sum _{ k=1 }^{ 7 }{ k } } \right)$$Beide Teilsummen mit der Gaußschen Summenformel berechnen:$$=29200-9\left( \frac { 80*81 }{ 2 } -\frac { 7*8 }{ 2 } \right)$$Alles ausrechnen:$$=29200-9*3212$$$$=292$$
