Kovarianz unter (bedingter) Homoskedastie bei OLS

Question

Hallo

Ich hänge momentan bei den statistischen Eigenschaften von OLS (Die Methode der kleinsten Quadrate) in Matrixform.

Es gilt ja: Cov(U | X) = σ²*I_n und die einfache Ursprungsgleichung bei OLS ist: Y=βX+U

Der Schätzer  β₁ Dach ist wie folgt definiert: (X^TX)^-1X^TY|X). Nun ist Cov (β₁ Dach | X) = Cov ((X^TX)^-1X^TY|X)

Wenn man dies zu (X^TX)^-1X^TCov (Y|X) X (X^TX)^-1 vereinfacht, kann man Cov (Y|X) durch Cov (U|X) ersetzen. Nun meine Frage wieso kann man das?

Cov (Y|X) sollte ja gleich Cov (βX|X) + Cov (U|X) oder irre ich mich da?

Vielen Dank

Lg joschi