zu a)
Sei v das Volumen der kleinen und V das Volumen der großen Tonne.
Seien außerdem r bzw. R die Radien der kleinen bzw. der großen Tonne und h bzw. H die Höhe der kleinen bzw. der großen Tonne. Da solch eine Tonne durch einen Zylinder angenähert werden kann, ergibt sich:
v = π r 2 h
bzw.
V = π R2 H
Somit gilt für das Verhältnis der Volumina:
V / v = π R2 H / ( π r 2 h )
π kürzt sich heraus:
= R2 H / ( r 2 h )
= ( H / h ) * ( R2 / r 2 )
= ( H / h ) * ( R / r ) 2
Das Volumen der großen Tonne verhält sich also zum Volumen der kleinen Tonne proportional zum Quadrat des Verhältnisses der beiden Radien. Proportionalitätsfaktor ist das Verhältnis H / h der Höhen.
Ohne die Radien R bzw. r zu kennen, kann man nicht mehr als das über das Verhältnis aussagen, insbesondere kann man keinen Zahlenwert für das Verhältnis angegeben, selbst dann nicht, wenn man die bekannten Höhen der abgebildeten Tonnen in diese Formel einsetzt.
zu b)
Werden Höhe und Radius einer Tonne verdoppelt, ist also H = 2 h und R = 2 r, so ergibt sich aus dem soeben berechneten Verhältnis:
V / v = ( H / h ) * ( R / r ) 2
= ( 2 h / h ) * ( 2 r / r ) 2
= 2 * 4
= 8
<=> V = 8 * v
Durch Verdoppelung von Radius und Höhe verachtfacht sich also das Volumen.
Werden Höhe und Radius einer Tonne verdreifacht, ist also H = 3 h und R = 3 r, so ergibt sich aus dem soeben berechneten Verhältnis:
V / v = ( H / h ) * ( R / r ) 2
= ( 3 h / h ) * ( 3 r / r ) 2
= 3 * 9
= 27
<=> V = 27 * v
Durch Verdreifachung von Radius und Höhe wächst also das Volumen auf das 27-fache.
