Den Grenzwert des Differentialquotienten
lim h -> 0 f ( x + h ) - f ( x ) ) / ( ( x + h ) - x )
nennt man, falls er existiert, die Ableitung von f nach x., geschrieben: f ' ( x ) oder
auch d f ( x ) / dx .
Es ist also:
f ' ( x ) = lim h -> 0 ( f ( x + h ) - f ( x ) ) / ( ( x + h ) - x )
Im Beispiel:
f ( x ) = 4 x 2 + 3 x
also:
f ' ( x ) = lim h -> 0 ( 4 ( x + h ) 2 + 3 ( x + h ) - ( 4 x 2 + 3 x ) ) / ( ( x + h ) - x )
= lim h -> 0 ( 4 ( x 2 + 2 h x + h 2 ) + 3 x + 3 h - 4 x 2 - 3 x ) / h
= lim h -> 0 ( 4 x 2 + 8 h x + 4 h 2 + 3 x + 3 h - 4 x 2 - 3 x ) / h
= lim h -> 0 ( 8 h x + 4 h 2 + 3 h ) / h
= lim h -> 0 h * ( 8 x + 4 h + 3 ) / h
= lim h -> 0 8 x + 4 h + 3
= 8 x + 3