Berechne den Konvergenzradius der Potenzreihe: ∑ (z^{2k} / 4^k)

Question

Hier soll man den Konvergenzradius bestimmen:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{z^{2 k}}{4^{k}} \)

kann mir jemand sagen wie ich da vorgehe?

Answer 1

Ja, unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

werden zwei Möglichkeiten beschrieben.

Hier ein Vorschlag: Mit der Umformung

$$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{4^{k}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{4^{k}}\cdot\left(z^{2}\right)^{k}$$

ist der Konvergenzradius mit der Formel von Cauchy-Hadamard

für z^2 offenbar 4, so dass schließlich |z| < 2 folgt.