Komplexe Zahlen: Wann muss man den Winkel korrigieren?

Question

 

als ich mit den komplexen Zahlen angefangen habe, wurde bei der eulerschen Form immer gesagt, dass man den Winkel mit dem arctan berechnet und dem Quotienten aus Imag und Real

Dann sollte man aber noch den Winkel korrigieren, je nachdem in welchem Quadranten die komplexe Zahl lag, mit 0, pi oder 2pi

Aber wenn ich z.B eine komplexe Zahl in MATLAB eingebe und den Winkel davon wissen will, erhalte ich den Winkel OHNE Korrektur?!

 

Ausserdem wird die komplexe Rechnung auch in der Wechselstromtechnik angewandt.

ort wird auch der Winkel nicht korrigiert, es wird also einfach arctan(imag/real) gerechnet und schon hat man den Winkel.

 

Wo ist die Erklärung?

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Die Tangens-Funktion ist Pi-periodisch, ihre Umkehrung, der Arkustangens wird für gewöhnlich auf dem Intervall ]-Pi/2;+Pi/2[ vorgenommen. Arkustangens-Funktionen (etwa beim Taschenrechner) liefern dann entsprechend Werte zwischen -Pi/2 und + Pi/2.

Zur Darstellung komplexer Zahln in Polarkoordinaten werden allerdings Winkel zwischen -Pi und +Pi benötigt. Liegt die komplexe Zahl z im 1. oder im 4. Quadranten, ist der Winkel zwischen -Pi/2 und + Pi/2 und arctan(Im(z),Re(z)) liefert unmittelbar diese Werte. Liegt z im 2. oder im 3. Quadranten, muss der von arctan(Im(z),Re(z)) gelieferte Wert entsprechend korrigiert werden.

Funktionen wie atan2(imag(Z),real(Z)) in Matlab nehmen diese Korrektur für z aus dem 2. oder 3. Quadranten selbst vor.

atan2 liefert Winkel zwischen -Pi und +Pi, das heißt auch, dass für Zahlen z im 3. und 4. Quadranten ein negativer Winkel angegeben wird. Dies ist auch richtig so, eine Korrektur ist nicht erforderlich. Eine ggf. gewünschte Verschiebung in das Intervall 0 bis 2Pi wird nicht automatisch vorgenommen und muss bei Bedarf händisch erfolgen.

Answer 1

Hi, solange Dein Programm weiß, dass Polarkoordinaten herauskommen sollen, weil etwa als Argument eine komplexe Zahl angegeben wird, kann es Dir die Winkelanpassung, die Du sonst selbst vornehmen müsstest, netterweise schon abnehmen, vgl. dazu auch die Funktion atan2 mit zwei Argumenten.

Comments

ja aber das Programm tut ja genau das nicht! Es wird der Winkel ohne Korrektur angezeigt.

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http://nf.nci.org.au/facilities/software/Matlab/techdoc/ref/atan2.html

Dann gib mal ein Beispiel. Matlabs atan2 liefert Werte zwischen -Pi und +Pi, andere zwischen 0 und +2Pi, das ist aber im Prinzip egal.

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Komplexe Zahl

 

Z = 200 - 600*j

 

Real = 200

Imag = -600

 

Z befindet sich im vierten Quadranten, der Winkel muss also mit 2pi / 360° korrigiert werden.

φ = arctan(-600/200) = -71.565°

 

Korrektur mit 360°

 

φ = -71.565° + 360° = 288.43°

 

MATLAB:

Winkel der komplexen Zahl bestimmen

angle(Z)

ans = -1.249 (rad) entspricht im Gradmass -71.565

 

Wo hat Matlab etwas korrigiert?

 

atan2(imag(Z),real(Z))

atan2d(imag(Z),real(Z))

 

geben genau die gleichen Werte wie angle(Z), d.h ohne irgendwelche Korrektur

Answer 2

Du brauchst keine korrekturen um 360 grad vornehmen. Du solltest z.b. bei
-1 + i oder bei -1 - i eine Korrektur vornehmen.

Also Korrekturen brauchst du, wenn deine Zahl im 2. oder 3. Quadranten liegt.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1-i

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%2Bi

Comments

Ok, ich habe gemerkt, dass die komplexen Zahlen in der Wechselstromtechnik sich nur im ersten Quadranten und im vierten Quadranten aufhalten.

Warum genau muss ich jetzt nicht mit 2pi korrigieren, wenn ich arctan(imag/real) auf dem Taschenrechner rechne bei einer komplexen  Zahl mit folgendem Aufbau: Z = +real - j*imag?

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Nimm die komplexen Zahlen am Einheitskreis. Es ist im Grunde Egal ob du von der x Achse 350 Grad gegen den Uhrzeigersinn gehst oder 10 Grad in Richtung Uhrzeigersinn. Du erreichst die gleiche Position.

Es kann nur sein, dass du mit 2pi korrigieren musst, wenn euer Dozent nur positive Winkel haben möchte.

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mir ist heute auch in den Sinn gekommen, dass wenn man einen Winkel um 360°/2pi (rad) korrigiert, die Position immer noch die selbe ist.

 

Laut meinen Vorlesungsunterlagen ist es total egal ob der Winkel negativ ist.

Ok gut, da drauf hätte ich also auch selbst kommen können.

 

Das mit den 2pi korrigieren beim arctan(imag/real) hat also nur mit negativen Winkel zu tun, die nicht so "schön" aussehen wie Winkel im positiven Bereich, korrekt?

 

Also ist das doch sogesagt - optional.

Gruss

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Richtig, korrigiert werden muss nur, wenn die Werte des Arcustangens wirklich falsch sind, das ist dann der fall, wenn z im 2. oder 3. Quadranten liegt. Verschiebungen der Winkel um 2Pi sind keine Korrekturen, sondern "Verschönerungen".

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Grob gesagt, immer wenn der Realteil negativ ist?

Dies ist ja nur im zweiten und dritten Quadranten der Fall.