ich habe mir vor längerer Zeit folgendes Problem ausgedacht (wie ich darauf gekommen bin, weiß ich nicht mehr; ich glaube, es war im Mathematikunterricht in der Schule beim Thema Stochastik/Kombinatorik):
Seien a und b positive ganze Zahlen im Intervall [1;n] (n ebenfalls ganz). Dann ist N_n(x) (d.h. N von x mit Index n) die Funktion, die angibt, wie viele verschiedene Möglichkeiten es bei dem angegebenen n gibt, x als Produkt aus a und b darzustellen. Dabei wird eine Möglichkeit zweimal gezählt, wenn a und b unterschiedlich sind (d.h. 2*3 und 3*2 für x=6 sind zwei unterschiedliche Möglichkeiten), sind sie gleich, gilt es als eine Möglichkeit.
Als Beispiel eine Tabelle mit n=4:
N_4(1)=1; N_4(2)=2; N_4(3)=2; N_4(4)=3; N_4(5)=0; N_4(6)=2; N_4(7)=0; N_4(8)=2; N_4(9)=1; N_4(10)=0; N_4(11)=0; N_4(12)=2; N_4(13)=0; N_4(14)=0, N_4(15)=0; N_4(16)=0; N_4(x>16)=0
Es lässt sich sofort aussagen, dass für jedes n N_n(1)=1 und N_n(n^2)=1 gelten. Außerdem ist N_n(x) für alle Primzahlen echt größer als n gleich 0 und für alle Primzahlen kleiner/gleich n gleich 2, bzw. für alle natürlichen Zahlen größer als 1 und kleiner gleich n mindestens 2.
Außerdem ist die Summe aller Funktionswerte von 1 bis n^2 gleich n^2 und für x<n gilt, dass N_n(x)=N_(n-1)(x) ist (d.h. N von x mit Index n-1).
Meine Frage ist jetzt: Ist dieses Problem in der Mathematik bekannt und gibt es eine allgemeine Funktionsgleichung für N_n(x)?
