Uneigentliches Integral berechnen: ∫ 1/(a+x^2) dx mit a>0 (von 0 bis ∞)

Question

Uneigentliches Integral berechnen:

\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{a+x^{2}} d x \) mit \( a>0 \)

Comments

Ersetze die obere Grenze durch b und bilde zunächst die Stammfunktion und dann die Differenz der Stammfunktionswerte und schließlich deren Grenzwert für b gegen Unendlich.

Answer 1

Hi,
eigentlich ist das ein Term, der an den Arcustangens erinnern sollte.
Übliches Vorgehen wohl hier:

$$\int \frac{1}{a+x^2} \;dx = \frac1a\int \frac{1}{1+\frac{x^2}{a}} \;dx $$

nachdem nun a im Nenner ausgeklammert wurde ist die Subst. \(u = \frac{x}{\sqrt a}\) zu wählen. Und damit \(du = \frac{1}{\sqrt a} dx\)

Das führt auf:
$$\frac{1}{\sqrt a}\int \frac{1}{1+u^2} du = \frac{1}{\sqrt a} \arctan(u) + c = \frac{\arctan\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)}{\sqrt a} + c$$

Grüße

Answer 2

Man könnte mit x = √a * tan u substituieren.

Vgl. https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution#Integrals_containing_a2_.2B_x2

x 

Comments

Danke, aber verstehe leider nicht, wie ich hier mit der Substitution vorgehen soll

Answer 3

Sustitution ---> (a+x² ) =u

∫ 1/u du = ln I u I  , Rücksub.: ln I  ( a+x²) I

Comments

Meiner Meinung nach ist dx=du/2x , oder nicht? Dann kann das doch nicht klappen