Integralrechnung: Zuflussgeschwindigkeit des Wassers nach einem Sommergewitter

Question

Der Graph der abgebildeten Funktion  f dritten Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems und hat im Wendepunkt W (8|y_w] die Wendetangente t mit t(x) = -48x + 512

Die Funktion beschreibt näherungsweise die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in einen Stausee einer Bergregion nach einem Sommergewitter in den ersten 12 Stunden, wenn x die Zeit in h und f(x) die Zuflussgeschwindigkeit in \( \frac{m^{3}}{h} \) ist.

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm von f.

b) Berechnen Sie die mittlere Zunahme der Zuflussgeschwindigkeit in den ersten vier STunden.

c) Betimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Zuflussgeschwindigkeit am größten war, und geben Sie diese Zuflussgeschwindigkeit an.

d) Begründen Sie mithilfe des Graphen und geeigneter Funktionswerte, dass der Zeitraum, in dem die Zuflussgeschwindigkeit mindestens 120 \( \frac{m^{3}}{h} \) beträgt, länger als 7 Stunden ist.

e) Bestimmen Sie die mittlere Zuflussgeschwindigkeit für die ersten 12 Stunden.

f) Berechnen Sie die Wassermenge, die innerhalb der ersten 2 Stunden zufließt.

g) Bestimmen Sie das zwei Stunden umfassende Zeitintervall, in dem die grlößte Wassermenge zufließt. Ermitteln Sie dazu einen rechnerischen Ansatz, mit dem das gesuchte Intervall bestimmt werden kann. Beschreiben Sie (kurz) den Lösungsweg. Eine Durchführung der Rechnungen ist nicht erforderlich.

a) kein plan

b) glaub ich integral von 0 bis 4

c) hochpunkt aber kein plan wie man die geschwindigkeit rechnet

beim rest hab i 0 ahnung ^^

Comments

Hi, ich möchte Dich nicht unbedingt frustrieren, aber b) ist falsch! Im übrigen habe ich diese Aufgabe schon mehrfach gerechnet (aus welchem Buch hast Du sie?); bei der nächsten Gelegenheit werde ich mir mal aufschreiben, was da jeweils bei rausgekommen ist. Es ist eine typische Analysis-Aufgabe im Stile der Vorgaben des Zentralabiturs in NRW.

zu a): Versuch mal, die Informationen zu f aus dem Text zu holen.

Answer 1

a)

Die Bedingungen

f(0) = 0
f''(8) = 0
f'(8) = -48
f(8) = -48*8+512 = 128

Wir lösen das LGS --> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Wir erhalten als Funktion

f(x) = x^3 - 24·x^2 + 144·x

b)

(f(4) - f(0)) / (4 - 0) = 64 m^3/h^2

c)

f'(x) = 0
x = 4 h [oder x = 12]

f(4) = 256

d)

f(x) > 120
0.99 < x < 8.17
8.17 - 0.99 = 7.18 > 7

e)

1/12·∫(x^3 - 24·x^2 + 144·x, x, 0, 12) = 144 m^3/h

f)

∫(x^3 - 24·x^2 + 144·x, x, 0, 2) = 228 m^3

g)

f(x) = f(x + 2)
x = 3.041885970 [oder x = 10.95811402]

Wir brauchen das 2 h Intervall ab 3.04 h