Symmetrie bei f(x) = 1/18 x^3 + x^2 -9/2 x?

Question

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{18} x^{3}-x^{2}+\frac{9}{2} x \).

a) Untersuchen Sie \( f \) hinsichtlich:

1. Definitionsbereich
2. Symmetrie
3. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
4. Extrempunkte
5. Wendepunkte

Comments

3. Für Schnittpkt. mit x-Achse musst du y=0 setzen.

Für Schnittpkt. mit y-Achse musst du x=0 setzen.

1. Also setzt du für x=0 => f (0)=0  also  P

Sy (0/0)

2. 0=F (x)

Stellst nach dem X Wert um und dann Sx (0/?)

Die Symmetrie bestimmt du in dem du

F (x)=f(-x) einsetzt heißst das alle x werte negativ in der andeten gleichung wird und du nur eine belieblige Zajl einsetzten musst um zukontrollieren um auf beiden Seite die gleiche Zahl mit postiven und negativen Vorzeichen rauskommt falls ja ist symmetrisch.

Bsp :Funktion f(x) = x2 + 2x - 3 gegeben, dann muss ihre Gleichung wie folgt aussehen: x2 + 2x - 3 = (-x)2 + 2*(-x) - 3.

22 + 2*2 - 3 = (-2)2+2*(-2) - 3.

5 = - 3. Die rechte und linke Seite der Gleichung stimmen nicht überein. Somit liegt keine Achsensymmetrie vor.

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@arsenal
es war nicht nach Achsensymmetrie gefragt sondern
nach Symmetrie. siehe meine Antwort.

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist immer symmetrisch zu ihrem immer vorhandenen einzigen Wendepunkt. Diese Eigenschaft lernt man kennen, wenn ganzrationale Funktionen eingeführt werden. Später, in anderen Zusammenhängen, darf man dies auch verwenden. Leider steht zu vermuten, dass die Aufgabe so nicht gemeint ist, sonst würde Punkt 2 nach Punkt 5 zu finden sein. Daher also nun eine Gegenfrage: Wie habt ihr ähnliche Symmetriebetrachtungen behandelt?

Comments

Achso ja stimmt, das ist ja dritten Grades. Aber wie rechne ich das denn?

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Falls die Aufgabe, wie zu vermuten ist, lediglich die Symmetrie zum Ursprung bzw. zur y-Achse untersucht haben will, so reichen Deine beiden Beobachtungen (sowohl gerade als auch ungerade Exponenten) bereits aus, um diese beiden Symmetrieen auszuschließen. Es muss nichts gerechnet werden.

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Symmetrie zum Koordinatenursprung, wenn alle Exponenten ungerade.

Symmetrie zur y-Achse, wenn alle Exponenten gerade.

Answer 2

Hier haben wir eine Punktsymmetrie.

Wenn der Symmetriepunkt im Ursprung liegt, dann gilt $$ f(x)=-f(-x)$$

Wenn nicht ...

$$ f(x+\delta)=-f(-(x+\delta))$$

Comments

Wie ist deine Antwort zu verstehen ?

" Hier haben wir eine Punktsymmetrie.  "  - Eine für mich klare Aussage

Wenn der Symmetriepunkt im Ursprung liegt, dann gilt

f(x)=−f(−x)
- Ebenso klar

Wenn nicht ...

f(x+δ)=−f(−(x+δ))

Was bedeutet dies ? Wenn nicht...

Wenn der Symmetriepunkt nicht im Ursprung liegt ?
gilt die 2.Beziehung
Wenn ich für x = 6 ( Symmetriepunkt siehe meine Antwort )
einsetze und für  δ = 2 ergibt die 2.Formel eine falsche
Aussage.

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Wenn nicht ...

... dann habe ich Käse erzählt, hole einen Eimer Asche und streue dessen Inhalt über mein greises Haupt!
mea culpaf(x+δ)=−f(−(x+δ))

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Wir können ja hier und jetzt ausmachen :
wir reden einander nicht mehr in die unterschiedlichen
pädagogischen Konzepte
- Denkanstoßmethode gegen kompletter Lösungsweg
hinein.  Lediglich auf Fehler kann hingewiesen werden
oder es kann aus Lerngründen nachgefragt werden.

Answer 3

F 0=x (1/18 x^2  -x + 9/2)  <= x vor der Klammer ergibt Null dann 1/18 vor x^2 auflösen und ab in die pq Formel damit.

Comments

?????

he?He????

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Das hilft die Schnittstellen der Funktion mit der x-Achse zu finden. Aber nicht die Symmetrie zu klären.

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Die pq - Formel braucht man übrigens da nicht, weils ein glatter Binom ist, der übrig bleibt

Answer 4

Hallo Albert,

zu Punkt 2.9 Symmetrie

Es liegt eine Punktsymmetrie zum Punkt ( 6  | 3 ) vor

Zur Ermittlung des Symmetriepunkts gilt

f ( x0 + d ) + f ( x0 - d ) = 2 * f ( x0 )

Es ergibt sich x0 = 6

Das Ganze läßt sich zu Fuß nur mit sehr
großem Aufwand berechnen.
Ist bei der Aufgabe ein CAS-System erlaubt ?

Comments

Eine Funktion 3. Grades ist Punktsymmetrisch zum Wendepunkt.

Daher haben wir hier eine Punktsymmetrie zum Punkt der unter 5. berechnet wird.

Allerdings ist bei Symmetrieuntersuchungen meist nur die Achsensymmetrie zur Y-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung gemeint. Daher ist hier meistens zu antworten.

Da die Exponenten weder alle gerade noch ungerade sind haben wir keine erkennbare Symmetrie.

Genaueres ist dann mit dem Lehrer abzustimmen ob hier auch eine ganz allgemeine Symmetrie bestimmt werden soll.

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Uns wurde gesagt das im Rahmen einer Kurvendiskussion soweit nicht anders gesagt nur 2 Symmetrien untersucht werden sollen. Die zur Y.Achse und die zum Ursprung. Wenn das nicht auftritt sollten wir schreiben: Keine untersuchte Symmetrie.

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Das Thema : Untersuchung auf Symmetrie hatten wir schon einmal.

Leider habe ich nicht das komplette Schulwissen um direkt sagen zu
können " Eine Funktion 3. Grades ist Punktsymmetrisch zum
Wendepunkt. "  Dann ist die Beantwortung der Frage einfacher.

In Abitursaufgaben, die ich kreuz und quer gerechnet habe, waren
die meisten Fragen nach Achsen- oder Punktsymmetrie zum Ursprung.
Es gab auch einige Fragen zu ausmittigen Symmetriepunkten.

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Ja allerdings ist bei andersartigen Symmetrieuntersuchungen dieses immer vermerkt oder nicht ?

Du weißt aber wie eine Funktion 3. Grades ausschauen könnte und das wenn es einen Symmetriepunkt gibt dieses nur der Wendepunkt sein kann. Wäre es nicht der Wendepunkt dann hätten wir ja 2 Wendepunkte was bei einer Funktion 3. Grades nicht sein kann.

Bliebe dann nur zu zeigen das der Wendepunkt auch wirklich ein Symmetriepunkt ist.

Das kannst du gerne mal anhand der allgemeinen Kubischen Funktion ax^3+bx^2+cx+d nachweisen ...

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Mathecoach . Du hast den Überblick.

Im Telegrammstil : Funktion 3.Grades, 1 Wendepunkt,  die
Funktion ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Das wars.

Jetzt könnte man sich noch an den Aufgabentext klammern
und zitieren : Untersuchen Sie f hinsichtlich Symmetrie.

Eine Untersuchung wäre ja die im Telegrammstil vorgetragene
Begründung  nicht.

Aber ich denke wir können es gut sein lassen.

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Wir hatten kein CAS-System

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@albert
Die Antwort auf die Frage der Symmetrie deiner Funktion
hat dir der Mathecoach bzw. ich gegeben
"  Im Telegrammstil : Funktion 3.Grades, 1 Wendepunkt,  die
Funktion ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Das wars.  "
Du kannst jetzt die 1.Ableitung, dann die 2.Ableitung bilden.
Die 2.Ableitung zu null setzen und den Wendepunkt berechnen.
Dies ist relativ einfach.  Ohne CAS.

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Man kann auch wie gesagt hinschreiben: Keine untersuchte Symmetrie. Also keine Achsensymmetrie zur y-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.

Wie gesagt wäre sowas im Zweifel mit dem Lehrer zu klären. Wie gesagt wurde uns beigebracht das Wenn wir eine Funktion 2. Grades haben unter Symmetrie Keine untersuchte steht, wenn der Scheitelpunkt nicht auf der y-Achse liegt.

Natürlich ist jede Parabel 2. Grades symmetrisch. Allerdings wird diese eben meist nicht untersuchst.