Betragsfunktion umwandeln in stückweise definierte Funktion: g(x) = |x+1| + |x-2|

Question

Ich habe eine Betragsfunktion g(x) = |x+1| + |x-2| und soll den zugehörigen Graphen skizzieren. Dies kann ich mithilfe einer Wertetabelle erreichen.

Einfacher ist es aber, wenn ich die stückweise definierte Funktion aus dieser Betragsfunktion bilde.

Wie mache ich das? Ich weiss lediglich, wie ich das mit einer einfachen Betragsfunktion bestehend aus einem Betragsblock (zum Beispiel f(x) = |x + 2|) mache, aber wie vorgehen bei mehreren Betragsblöcken?

Comments

Es ändert sich nur an den Nullstellen der Summanden etwas am Funktionsterm.

Teile daher IR auf in 3 Bereiche:

x≤-1, -1<x<2 und x≥2.

Kommst du so schon zum Resultat?

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Mein Ordnungssinn verlangt es, dass ich mich noch für diese Antwort bedanke, wenn auch sehr spät.

Herzlichen Dank!

Answer 1

Ich werde alt.
Das folgende hatte ich schon vor Stunden
ausgearbeitet und eingescannt.
Ich stelle ich trotzdem noch hier ein
weil Lu´s Antwort einen kleinen Fehler enthält
mittlerer Teil : x = 3 nicht x = 1

Comments

Georg, wie würdest Du bitte bei einer verschachtelten Betragsfunktion à la

f(x) = ||x-3|-5|+4

vorgehen?

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Vorbemerkung . stelle bitte neue Fragen als neu hier ein.
Damit gibt es du auch weiteren Antwortgebern die Möglichkeit
darauf eine Antwort zu geben.
Willst du sicher gehen das Lu oder ich die Frage auch
mitbekommen kannst du einen kleinen Hinweis in
diesem Strang einstellen : Lu oder Georg : ich habe eine
weitere Frage neu eingestellt.

Ich gehe, wie bekannt, auch hier nach meine Schema vor

mfg Georg

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Alles klar, werde ich in Zukunft machen (was ist denn bitte ein "Strang")?

Herzlichen Dank für Deine Mühe, auch das habe ich nun begriffen (wenn auch sehr langsam...).

Bis zum nächsten Mal (:

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Falls jemand in einem Internetforum eine Frage stellt oder
einen Kommentar abgibt und es erfolgen Reaktionen
nennt man das einen " Strang "  englisch " Thread ".

Answer 2

Es ändert sich nur an den Nullstellen der Summanden etwas am Funktionsterm.

Teile daher IR auf in 3 Bereiche:

x≤-1, -1<x<2 und x≥2.

 g(x) = |x+1| + |x-2| 

1. Fall x≤-1, 

g(x): = -(x+1) -(x-2) = -2x + 1 , für x≤ -1

2. Fall -1<x<2 

g(x):= (x+1) -(x-2) = 3, für -1 <x<2

EDIT(Lu): 3 nicht wie vorher 1.

3. Fall x≥2.

g(x):=(x+1) + (x-2) = 2x - 1, für x≥2.

(ohne Gewähr): Kontrolliere das nun mit deiner Wertetabelle.

Comments

Hallo Lu,

kleiner Fehlerhinweis

anstelle

g(x):= (x+1) -(x-2) = 1, für -1 <x<2

muß es heißen

g(x):= (x+1) -(x-2) = 3, für -1 <x<2

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Vielen Dank an auch beide für eure Antworten!

Gemäss meiner Musterlösung stimmen eure Ansätze, nur verstehe ich sie noch nicht ganz beziehungsweise den Denkvorgang, den man zu vollziehen hat.

Wie ich die Grenzen bestimme, verstehe ich nun, aber wie bewerte ich dann die "Betragsblöcke"  pro Grenze?

Nehmen wir zum Beispiel die erste Grenze x < -1 (aus welchem Grund ist es eigentlich bitte bei euch ein Kleinergleich-Zeichen an den äusseren Grenzen, während es in den inneren Grenzen ein Kleiner-Zeichen ist?).

Ihr beide negativiert beide Betragsblöcke, was Fall 2 entspricht laut allgemeiner Definition des Absolutbetrags:

a aus R |a| = a, falls a grössergleich 0 und -a sonst

Aber wie wisst ihr, dass diese beiden Blöcke kleiner als -1 sind?

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wie bewerte ich dann die "Betragsblöcke"  pro Grenze?

x<-1

Setze einfach etwas im fraglichen Bereich ein. Z.B. x=-2 

Je nach Vorzeichen setzt du dann ein Minus vor die Klammer oder nicht.

Jetzt verständlicher?

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Ok, das heisst im Fall x<-1 für den ersten Block |x+1|:

Ich setze mal -2 ein und erhalte dann |-1|, ist negativ, daher gemäss Definition zu negativieren, also wende ich       -(x+1) an. Für den zweiten Block |x-2| setze ich auch -2 ein und erhalte |-4|, wende also auch -(x-2) an. Ist das bitte so richtig "gedacht"?

Aber wenn ich ein -1 einsetze, dann müsste ich ja dann nur noch den zweiten Block negativieren, weil der erste dann 0 ergibt.

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So ganz habe ich noch nicht verstanden was du meinst.
Das kann aber auch an mir liegen.

g ( x ) = | x+1 | +  | x-2 |
g ( x ) = Block1 + Block2

Ich gehe folgendermaßen vor

4 Fälle :
1.)
Block1 > 0  und Block2 > 0
dann gilt
g = Block1 +  Block2
2.)
Block1 < 0  und Block2 > 0
dann gilt
g = Block1*(-1)  +   Block2
3.)
Block1 > 0  und Block2 < 0
dann gilt
g = Block1 +  Block2 *(-1)
4.)
Block1 < 0  und Block2 < 0
dann gilt
g = (Block1)*(-1) +  Block2*(-1) 

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Deine Aufstellung bewirkt schon eine kleine Zündung in meinem Kopf. (:

Jetzt frage ich mich noch: Was setzt Du zwecks dem Test, ob über oder unter 0, in die Blöcke jeweils ein? Und setzt Du für jeden Block das Gleiche ein und müssen mehrere Zahlen getestet werden?

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ich gehe anders vor

1.)
Block1 > 0  und Block2 > 0
heißt  für Block 1 :
x + 1 > 0
x > -1
heißt für Block2 :
x - 2 > 0
x > 2
Zusammen ( Schnittmenge )
( x > -1 ) und ( x > 2 )
x > 2
Für x > 2 gilt
dann gilt
g = Block1 +  Block2
( siehe meine handschriftliche Antwort )

Für den Fall 2 gilt sogar : die Schnittmenge ist leer
und entfällt damit.

Mein Ziel : du sollst nicht unwissend sterben.
Ich gehe jetzt allerdings fernsehen gucken.

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Gast: Für den zweiten Block |x-2| setze ich auch -2 ein und erhalte |-4|, wende also auch -(x-2) an. Ist das bitte so richtig "gedacht"? 

Aber wenn ich ein -1 einsetze, dann müsste ich ja dann nur noch den zweiten Block negativieren, weil der erste dann 0 ergibt. 

Nein! Schau was über dem Block steht: x ist eine Zahl zwischen -1 und 2. Du willst ja eine stückweise definierte Funktion ansehen. Setz nun also eine Zahl ein, die zu diesem Stück gehört. Z.B. 0 oder 1.

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Hallo ihr beiden, ich bedanke mich für eure Antworten!

@georgborn: Ein hehres Ziel von Dir! (: Lu und Du habt es auch beinahe geschafft. 

Jedenfalls kann ich das Ganze nun für eine Betragsfunktion mit 2 Blöcken nachvollziehen. Wenn ich jetzt aber eine Betragsfunktion mit 3 Blöcken vor mir habe, wird der Aufwand ja ungleich höher.

g(x) = |x+1| + |x-1| + |x-4|

Gehe ich vor wie Du Georg, dann gibt es bei dieser Betragsfunktion 8 Fälle (2^3 Kombinationen). Die alle aufzuschreiben dünkt mich etwas umfangreich. Kann ich mich denn stattdessen nicht einfach auf die Nullstellen verlassen? Diese Betragsgleichung wird an 3 Stellen knicken, nämlich an -1, 1 und 4. Somit entstehen 4 "Bereiche" oder besser gesagt Intervalle, für welche es Funktionsgleichungen zu finden gilt.

Die einfachsten sind die beiden Äusseren: 

Fall 1: Block1 > 0 und Block2 > 0 und Block3 > 0

--> g(x) = Block1 + Block2 + Block3

Schnittmenge von x+1 > 0, x-1 > 0 und x-4 > 0 ist x > 4.

Also: x+1 + x-1 + x-4 = 3x-4 für x>4

Fall 2: Block1 < 0 und Block2 < 0 und Block 3 < 0

--> g(x) = -Block1 + -Block2 + -Block3

Schnittmenge von x+1 < 0, x-1 < 0 und x-4 < 0 ist x < -1.

Also: -(x+1) + -(x-1) + -(x-4) = -3x+4 für x<-1

Jetzt brauchen wir noch je einen Fall für -1<x<1 und 1<x<4.

Fall 3: Block1 > 0 und Block2 < 0 und Block3 < 0

--> g(x) = Block1 + -Block2 + -Block3

Schnittmenge von von x+1 > 0, x-1 < 0 und x-4 < 0 ist -1 < x < 1.

Also: x+1 + -(x-1) + -(x-4) = --x+6 für -1<x<1

Fall 4: Block1 > 0 und Block2 > 0 und Block3 < 0

--> g(x) = Block1 + Block2 + -Block3

Schnittmenge von von x+1 > 0, x-1 > 0 und x-4 < 0 ist 1 < x < 4.

Also: x+1 + x-1 + -(x-4) = -x+4 für 1<x<4

Das war zwar jetzt auch nicht wirklich weniger Aufwand. ^^Aber vermutlich ist es für die inneren Bereiche einfach wichtig die korrekten Schnittmengen zu finden.
Ich habe dann noch eine Frage bezüglich dem Kleiner-Grösser-Symbol: Spielt es eine Rolle, ob ich es verwende beziehungsweise wann muss ich das Kleiner-Grösser-GLEICH-Symbol verwenden?

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Funktionen mit Betrag können ganz schön verwirren.

2^3 Kombinationen. Das ist richtig erkannt wenn man
nach der von mir beschriebenen Methode vorgeht.

Ich bleibe dennoch bei dem für mich sicheren Lösungsweg.
Den kann ich. 

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Gut, dann danke ich herzlich für Deine grosse Hilfe! Ich geh' jetzt Fernsehen gucken. (:

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Gast: Orientiere dich vielleicht auch an den Graphen, die du ja offenbar erstellen kannst.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=g%28x%29+%3D+%7Cx%2B1%7C+%2B+%7Cx-2%7C+

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Eine gute Idee, auch Dir vielen Dank Lu!

Schönen Abend euch beiden. (: