Nullstellen der Funktionsschar Fa(x)= 8/729 a^3 x^3 - 8/27 a^2 x^2 + 5/3 ax + x

Question

Hallo , ich benötige Hilfe bei der Bestimmung der Nullstellen folgender Scharfunktion:

Fa(x)= 8/729 a³x³ - 8/27a²x² + 5/3 ax + x

Eine genauen Lösungsweg wäre sehr hilfreich :) Ich habe versucht x auszuklammern und dann die pq Formel zu verwenden aber weiß dann nicht wie ich den Term in der Wurzel kürzen soll

Comments

Fa(x)= 8/729 a³x³ - 8/27a²x² + 5/3 ax + x

Fa(x)= 8/3^6 a³x³ - 8/3^3 a²x² + 5/3 ax + x

Fa(x)= x ( 8/3^6 a³x^2 - 8/3^3 a²x + 5/3 a + 1) 

Fa(x)= x * 8/3^6 ( a³x^2 - 3^3/8 a²x + 3^6/8 * 5/3 a + 3^6/ 8) 

Fa(x)= x * 8/3^6 a^3 ( x^2 - 3^3/(8a) x + (5* 3^5)/(8a^2) + 3^6 / (8a^3) 

x1 = 0

x2,3 = 1/2 ( 3^3/(8a) ± √ (3^6/(8^2 a^2) - 4( (5* 3^5)/(8a^2) + 3^6 / (8a^3) ))

Hast du bis hierhin noch dasselbe? Versuch mal zu vereinfachen.

Rauskommen sollte dann irgendwann:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=8%2F729+a%5E3+x%5E3+-+8%2F27+a%5E2+x%5E2+%2B+5%2F3+ax+%2B+x%3D0

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vielen Dank schonmal.. ja bis dahin hatte ich es schon aber komme mit der Vereinfachung nicht klar :/

Answer 1

8/729·a^3·x^3 - 8/27·a^2·x^2 + 5/3·a·x + x = 0   | : x -> Eine Nullstelle

8/729·a^3·x^2 - 8/27·a^2·x + 5/3·a + 1 = 0

8·a^3·x^2 - 216·a^2·x + 1215·a + 729 = 0

abc-Formel

x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

x = (216·a^2 ± √((- 216·a^2)^2 - 4·(8·a^3)·(1215·a + 729)))/(2·(8·a^3))

x = (216·a^2 ± √(7776·a^4 - 23328·a^3))/(16·a^3)

Es muss gelten 7776·a^4 - 23328·a^3 >= 0 bzw. a ≤ 0 ∨ a ≥ 3

Comments

ja aber ich muss ja die Nullstellen bestimmen und nicht den Definitionsbereich von a einschränken

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Für 0 <  a < 3 gibt es nur 1 Nullstelle : x = 0

Für a ≤ 0 ∨ a ≥ 3  gibt es 3 Nullstellen
x = 0 und die oben angegebenen Nullstellen

Dies ist die korrekte Antwort.

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Schade, dass es bei dir mit dem Zählen so hapert

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wo ist bei mir ein Fehler ?

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Die Aussage  " Für a ≤ 0  gibt es 3 Nullstellen "  ist falsch.

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Man hat für a = 0 identische Nullstellen.

Eine dreifache Nullstelle ist ja genau genommen nur eine Nullstelle.
Ich denke darauf will er hinaus. Ich finde so eine kleine Formulierungsschwäche nicht tragisch.

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Ziel meines Beitrags in diesem Strang war es auf
die Nachfrage des Fragestellers zu reagieren und darauf
hinzuweisen das die Anzahl der Nullstellen der Funktion
von a abhängig ist. Dies ist hoffentlch gelungen.

@hj212 wenn du schon auf Fehler hinweist dann gib diese
doch direkt mit an. Damit könnte sich mein Arbeitsaufwand
auf deine zumeist eh sinnlosen Einwände ( zumindest für
den Fragesteller und für mich ) in Grenzen halten.

hj212 bist du eigentlich auch hj214 ?

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"@hj212 wenn du schon auf Fehler hinweist dann gib diese doch direkt mit an. Damit könnte sich mein Arbeitsaufwand auf deine zumeist eh sinnlosen Einwände in Grenzen halten."

Würde mich dem gerne anschließen wollen.

Wir alle machen Fehler. Und ich gehöre zu der Sorte die auch aus Unachtsamkeit besonders viele machen. Es ist immer hilfreich, wenn man auf Fehler hingewiesen wird. Allerdings bevorzuge ich dann auch die Nennung des Fehlers.

Das soll hier doch ein Hilfeforum sein und kein Rätselrateforum.

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wenn du schon auf Fehler hinweist dann gib diese doch direkt mit an
Ich habe doch die falsche Stelle ganz genau benannt.

deine zumeist eh sinnlosen Einwände
Meine Einwände sind immer sinnvoll! Wenn du den Sinn nicht erkennen kannst, dann spricht das nicht für dich.

Die dezente Art meiner Hinweise soll dir dieGelegenheit geben, dein Gesicht zu wahren, indem du deine Fehler selbst korrigierst.

Aus deinem Profil : " ich bin hier im Forum weil ich über die gestellten Fragen, Probleme und Schwierigkeiten meine Mathekenntnisse verbessern will. "
Warum tust du es dann nicht, wenn ich dir die Gelegenheit dazu gebe ?

hj212 bist du eigentlich auch hj214 ?
Ich bin Ich.

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@MatheCoach :
Man hat für a = 0 identische Nullstellen.  Was soll der Plural hier ?
Die Aussage " Eine dreifache Nullstelle ist ja genau genommen nur eine Nullstelle." darf keineswegs so gelesen werden, dass für a=0 eine dreifache Nullstelle vorläge. Die Funktion hat für kein a eine dreifache Nullstelle, sie hat für a=3 eine einfache Nullstelle bei x=0 und eine doppelte Nullstelle bei x=4,5, aber das als drei Nullstellen zu bezeichnen habe ich ja nirgendwo kritisiert.

Georgs Aussage ist also nicht nur eine "Formulierungsschwäche"

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@hj212
Zitat " hj212 bist du eigentlich auch hj214 ?
Ich bin Ich.  "
Schon wieder eine kryptische Bemerkung die alle
Deutungsmöglichkeiten offen lässt. Also keine Antwort.

Ich erkläre hiermit : der erste Fehlerhinweis von hj212 ist für
mich sinnlos. Ich bedauere es mal wieder soviel Zeit
damit verplempert zu haben.

Kennzeichen von Trollen ist es u.a. andere in sinnlose
Endlosdiskussionen zu verwickeln. Genau das Gefühl
habe ich bei vielen Beiträgen von hj212.

Nachtrag : Zitat " Die dezente Art meiner Hinweise soll dir die
Gelegenheit geben, dein Gesicht zu wahren, indem du deine
Fehler selbst korrigierst.  "
Schwülstiger geht es wohl kaum noch.