Wie viele Ameisen gab es zu Beobachtungsbeginn...?

Question

kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen:

Für die Anzahl (in 1000) der Ameisen in einem Ameisenhaufen gilt modellhaft zum Zeitpunkt t: fk (t) = 8-2e^-kt (t in Wochen nach Beobachtungsbeginn).

a) Wie viele Ameisen gab es zu Beobachtungsbeginn in diesem Ameisenhaufen?

b) Bestimmen Sie k, wenn es nach drei Wochen 7000 Ameisen gibt.

c) Bestimmen Sie k, wenn die momentane Änderungsrate zu Beobachtungsbeginn 250 Ameisen pro Woche ist.

Vielen Dank schonmal im Voraus :-)

Answer 1

f(t) = 8 - 2·e^{- k·t}

a) Wie viele Ameisen gab es zu Beobachtungsbeginn in diesem Ameisenhaufen? 

f(0) = 8 - 2·e^{- k·0} = 6 --> Es gibt 6000 Ameisen.

Comments

b)

fk(3) = 7

--> k = LN(2)/3

c)

fk'(0) = 0.250

--> k = 1/8

Answer 2

Für die Anzahl (in 1000) der Ameisen in einem Ameisenhaufen gilt
modellhaft zum Zeitpunkt t:
fk (t) = 8-2e^{-kt}  (t in Wochen nach Beobachtungsbeginn).

a) Wie viele Ameisen gab es zu Beobachtungsbeginn in diesem
Ameisenhaufen? 
f ( 0 ) =  8 - 2e^{-k*0}  
f ( 0 ) =  8 - 2e^0
f ( 0 ) = 6  ( in tausend )

b) Bestimmen Sie k, wenn es nach drei Wochen 7000 Ameisen gibt.

f ( 3 ) = 8 - 2e^{-k*3}  = 7
8 - 2e^{-k*3}  = 7
- 2e^{-k*3}  = 7 - 8 = -1
2e^{-k*3}  = 1
e^{-k*3}  = 1 / 2  | ln ()
-k*3 = ln ( 1/2 )
-k = ln ( 1/2 ) / 3
-k = -0.231
k = 0.231
f ( 3 ) = 8 - 2e^{-0.231*3}  = 7

c) Bestimmen Sie k, wenn die momentane Änderungsrate zu
Beobachtungsbeginn 250 Ameisen pro Woche ist.

f_k( 1 ) = 8 - 2e^{-k*1}  = 6.25
2e^{-k}  = 1.75
e^{-k}  = 0.875  | ln ()
-k = ln ( 0.875)
k = 0.134

Comments

Korrektur c.)

fk (t) = 8-2e^-kt
fk´ ( t ) = -2 * e^-kt * (-k )
fk´( 0 ) = -2 * e^-k*0 * (-k ) = 0.25
-k = -0.125
k = 0.125