f(x) = ax²+bx+c und Schnittpunkt mit einer Geraden f(x)

Question

Hallo

Gegeben sind folgende Punkte der Funktion f(x)=ax²+bx+c

Bei (-0.125/ -4.125) erreicht sie ihr Minimum

Den Schnittpunkt mit der y-Achse findet man bei (0/-4)

Berechne die ursprüngliche Funktion

Berechne die beiden Schnittpunkte der Funktion f(x) mit der Geraden g(x)=(2129/6250)x +30.11272

Answer 1

Gegeben sind folgende Punkte der Funktion f(x)=ax²+bx+c

Bei (-0.125/ -4.125) erreicht sie ihr Minimum

Den Schnittpunkt mit der y-Achse findet man bei (0/-4)

Berechne die ursprüngliche Funktion

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
c = -4 bei x = 0
f ( x ) = a * x^2 + b * x  - 4
f ´( x ) = 2 * a * x + b

f ( -0.125 ) = a * (-0.125)^2 + (-0.125)*b - 4 = -4.125
f ´( -0.125 ) = 2 * (-0.125) * a + b = 0

a * (-0.125)^2 + (-0.125)*b = -0.125
2 * (-0.125) * a + b = 0
b = 2 * 0.125 * a = 0.25 * a

a / 64 - 1 / 8 *1/4 * a = - 1/8
a / 64 - a / 32 = -1 / 8
- a / 64 = - 1 / 8
a = 8
b = 0.25 * a
b = 2

Den Rest : siehe bei der anderen Antwort.

Answer 2

Gegeben sind folgende Punkte der Funktion f(x)=ax²+bx+c. Bei (-0.125/ -4.125) erreicht sie ihr Minimum. Den Schnittpunkt mit der y-Achse findet man bei (0/-4)

f(x) = (-4 - (-4.125)) / (0 - (-0.125))^2 * (x - (-0.125))^2 - 4.125 

f(x) = 8·x^2 + 2·x - 4

Schnittpunkte f(x) = g(x)

8·x^2 + 2·x - 4 = 2129/6250·x + 30.11272

x = 1.963860014 ∨ x = -2.171280014

Jetzt braucht man nur noch die y-Koordinaten bestimmen.

Comments

Es entsteht bei mir die Frage ob der erste Schritt vom
Fragesteller verstanden wird.

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Tja. Gute Frage. Die Scheitelpunktform sollte er dazu können. Die ist meiner Meinung nach Pflicht. Und dann sollte man den Öffnungsfaktor bei gegebenem Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt berechnen können. Das wird leider nicht wirklich in der Schule gelehrt. Ich finde es aber nützlich und empfehle es immer wieder.

Steigung einer linearen Funktion zwischen den Punkten P und Q

m = (Py - Qy) / (Px - Qx)

Öffnungsfaktor einer quadratischen Funktion zwischen dem Punkt P und dem Scheitelpunkt S

a = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2

Die Analogie zur linearen Funktion ist eigentlich recht einfach.

Wenn man diese beiden Sachen kennt ist das Aufstellen selber kein Problem mehr. Und man erspart sich sehr viel wilde rumgerechnerei.

Man könnte das ganze aber auch über ein lineares Gleichungssystem machen. Das wäre hier der üblichere weg, der aber entsprechend länger und fehleranfälliger ist. Aber auch das kann ja mal jemand vormachen.