Sei V ein R-Vektorraum mit V ungleich {0} und sei f ∈ End(V ).

Question

Wer kann mir behilflich sein?

Sei V ein R-Vektorraum mit V ungleich {0} und sei f ∈ End(V ). Zeigen Sie

(i) Ist λ ∈ R ein Eigenwert von f, so ist 2 + λ − 3λ^4 ein Eigenwert des Endomorphismus 2idV + f − 3f^4 ∈ End(V ).

(ii) Gibt es ein n ∈ N mit f^n = 0 ∈ End(V ), so hat f genau einen Eigenwert.

Answer 1

es gelte \( f(x) = \lambda x \) für den Eigenwert \( \lambda \) und Eigenvektor \( x \).

Es ist

\( (2 id_V + f - 3f^4)(x) = (2 + \lambda - 3\lambda^4)x \)

wegen

\( f^2(x) = f(f(x)) = f( \lambda x) = \lambda f(x) = \lambda^2 x \).

Sei \( \lambda \neq 0 \) und \( n \in \mathbb{N} \) mit \( f^n = 0 \). Dann ist \( f^n(x) = \lambda^n x \neq 0 \) für den Eigenvektor \( x \). Daher ist \( \lambda = 0 \) der einzige Eigenwert von \( f \).

Mister

PS: Man kann \( \lambda = 0 \) direkt ablesen aus der Forderung \( f^n(x) = \lambda^n x = 0 \).

Comments

Ein \(\lambda\) zuviel in Zeile 4?

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Ja, stimmt. Ich habe es soeben korrigiert.