Ungleichung für reelle Zahlen: sin(2x) ≤ √3 sin x

Question

Hey Ihr

hab in der Uni diese Ungleichung bekommen und komme da einfach nicht weiter. Mir ist bewusst das bei Ungleichungen eigentlich am Ende eine Variable größer bzw. kleiner gleich irgendetwas rauskommen muss. Sonst klappt das auch immer klasse aber mit den Sinus und Cosinus Funktionen bin ich jetzt verwirrt.

Hier also einfach mal die Aufgabe, vielleicht könnt ihr mir da mal helfen?!

 

Lösen Sie die Ungleichung sin(2x) ≤ √3 sin x   in ℝ.

 

Schon mal vielen Dank

 

littlelila

Answer 1

sin(2x) ≤ √3 * sin(x)

Wir können hier ein Additionstherorem anwenden

sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Daraus folgt die Gleichung:

2 * sin(x) * cos(x) ≤ √3 * sin(x)

Die könnte man durch sin(x) teilen. Achtung! Dabei ändert sich je nach x das Ungleichheitszeichen und ist dann eher mit = zu ersetzten.

2 * cos(x) = √3

Jetzt kommst du sicher alleine weiter oder?

Comments

wieso ändert sich das ungleichheitszeichen denn?! also woher kommt das? den rest der klappt jetzt denke ich

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Sollte sin(x) negativ werden ändert sich das Ungleichheitszeichen.

z.B.

-3 < -2

Wenn ich jetzt durch eine negative Zahl wie -1 teile erhalte ich

3 < 2

Das stimmt nicht mehr. Man sieht das sich das Ungleichheitszeichen auch ändern muss

3 > 2

Das ist mit die einzige Änderung die Ungleichungen von Gleichungen unterscheiden. Das man auf das Ungleichheitszeichen achten muss.

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alles klar ok danke ich denke jetzt klappts

Answer 2

sin(2x) ≤ √3 sin x

Doppelwinkelformel

2 sinx cos x ≤ √3 sinx            |- √3 sinx und sinx ausklammern

sinx (2 cos x - √3 ) ≤ 0

Jetzt sind entweder beide Faktoren ≥ 0 oder beide ≤ 0.

Bestimme erst mal, was die Nullstellen der Faktoren sind und überleg von da aus weiter.

Du solltest die Bereiche rausbekommen, in denen die linke Seite der Ungleichung nicht über der x-Achse verläuft. 

Anm. in der Skizze ist die x-Achse in Bogenmass angegeben. 3.14 (also etwa 3) entspricht pi oder 180°.

Comments

was ist denn eine Doppelwinkelform?!

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folgerung aus additionstheorem des sinus. schau mal bei den ähnlichen fragen (unten)

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sin(x+y)= sinxcosy+cosxsiny oder was meinst du jetzt?

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Für Doppelwinkelfunktionen siehe https://www.matheretter.de/wiki/additionstheoreme (weiter unten).