Matrizen berechne und matrizenprodukte und beweis

Question

Berechnen sie für die Matrizen

3  4  -2                                4  3                                  1  2  3  4

A=     4 -1   1                      B=      1  2                      C=       5  6  7  8

2  2  -3                                7  -5

1   5   2

alle Matrizenprodukte aus je zwei Faktoren, sofern diese Produkte definiert sind.

b) Berechnen Sie A³ und B³ für

0  1  0                                          0  0  1

A = 0  0  1          und                    B= 1  0  0

1  0  0                                          0  1  0

c)  Berechnen Sie die Matrizenprodukte

⟨ a1  a2  a3 ⟩  *   b1                          und                     b1  *   ⟨ a1  a2  a3 ⟩

b2                                                     b2

b3                                                     b3

d) Es sei n aus N und A, B seien quadratische (n X n ) - Matrizen, für die AB = BA gilt. Zeigen sie, dass  für alle r,s aus N gilt:

A^rB^s = B^sA^r

Answer 1

womit genau kommst du denn nicht zurecht und welche Hilfsmittel willst/kannst/darfst du benutzen?

Bei a) hängt es vom Format der Matrix ab, ob die Multiplikatiopn definiert ist:
A ist z.B. eine (4*3)-Matrix (4 Zeilen, 3 Spalten) und B eine (3*2)-Matrix.
Da sie "aneinanderpassen" wie beim Domino-Spiel (4*3) und (3*2) ist das Produkt AB definiert.
Das sieht man gut, wenn man das sogenannte Falksche Schema verwendet.
Siehe unter www.mathebaustelle.de/glossar/matrizenmultiplikation.pdf
Bei den Aufgaben geht es wohl um die Definition der Matrienmultiplikation und ums üben - wenn du nur Papier und Bleistift hat ist das etwas Rechnerei, aber halt auch Training. Mit einem besseren Taschenrechner (TI30XPro oder Casiof991 oder GTR oder CAS) kannst du einfach alles eintippen und "rechnen lassen".

b) A³ = A*A*A (und dann ausrechnen) ...

c) Bei der linken AUfgabe kommt eine Zahl heraus, bei der rechtne eine (3*3)-Matrix.

d) Hier bietet sich die vollständige Induktion an:
Induktionsanfang: (AB)^1=A^1B^1 (da ist nichts zu tun)
Induktionsvoraussetzung: (AB)^n=A^nB^n
Dann den Induktionsschritt zu zeigen (AB)^{n+1} = ... sollte kein unlösbares Problem sein.