Exponentialfunktionen Wachstum. Salmonellen sind stäbchenförmige Bakterien.

Question

brauche einen kompletten lösungsweg thx

Salmonellen sind stäbchenförmige Bakterien, die in unter anderem in und auf Eiern vorkommen und beim Menschen z.B. Durchfallerkrankungen auslösen können. Sie sind nach dem Tierarzt Daniel Elmer Salmon benannt und bevorzugen Temperaturen zwischen 20 und 40 Grad Celsius, bei denen sie sich optimal vermehren. In kleineren Mengen sind sie normalerweise unkritisch, die Infektionsdosis eines gesunden Erwachsenen wird mit etwa 100.000 Keimen angsetzt.

a) Einfache exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse werden durch Funktionen des Typs \(f(t)=A\cdot e^{kt}\) beschrieben. Geben Sie die Bedeutung der Parameter A und k im Sachzusammenhang an, gehen Sie dabei insbesondere auf das Vorzeichen von k ein!

b) In einer Portion frisch zubereitetem Kartoffelsalat wreden 6.000 Keime festgestellt. Nach 30 Minuten Standzeit außerhalb des Kühlschranks misst man 17.000 Keime. Zeigen Sie, dass die Gleichung

\(f(t)=6000\cdot e^{0,0347t}\)

die zeitliche Entwicklung der Salmonellen in diesem Kartoffelsalat beschreibt! (t: Zeit in Minuten nach Zubereitung, f(t): Anzahl Bakterien). Bestimmen Sie f(60) und interpretieren Sie das Resultat ernährungshygienisch!

c) Bestimmen Sie, wie lange der Kartoffelsalat maximal außerhalb des Kühlschranks stehen kann, damit er noch verzehrt werden kann!

d) Die Vermehrungsrate der Salmonellen sinkt bei Kühlschranktemperaturen drastisch, hier wird ein k-Wert von k = 0,000481 gemessen. Berechnen Sie die Verdopplungszeit T in dieser Umgebung und zeigen Sie, dass allgemein T = ln (2) gilt!

e) Drei Portionen von frischem Kartoffelsalat werden 25 Stunden lang unterschiedlich behandelt.

Portion 1 ist eine Stunde draußen und 24 Stunden im Kühlschrank.

Portion 2 ist eine halbe Stunde draußen, dann 24 Stunden im Kühlschrank, dann wieder eine halbe Stunde draußen.

Portion 3 ist zuerst 24 Stunden im Kühlschrank und dann eine Stunde draußen. Bestimmen Sie die erwarteten Keimzahlen für alle drei Proben!

Comments

c)

100000 = 6000*e^{0.0347*t}

t = ln(100000/6000)/0,0347 = 480,31 Minuten

d)

2 = e^{0,000481*t}

t = ln2/0,000481

Daraus erkennt man, dass T = ln2/k gilt.

e)

P1: 6000*e^{60*0,0347}*e^{24*60*0,0,000481}

P2: 6000*e^{30*0,0347}*e^{24*60*0,000481}*e^{30*0.0347}

P3: 6000*e^{24*60+0,000481}*e^{30*0,0347}

Den Rest schaffst du alleine.

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@eh684
P3 dürfte etwas falsch sein. Siehe meine Antwort. ( 30 min / 60 min )

Answer 1

Bei a)  A ist der Anfangsbestand.   k>0 bedeutet Wachstum   k<0 bedeutet Abnahme.

b) Setz doch mal  t=0   t=30   t=60 ein und sieh dir die Ergebnisse an.

Answer 2

a.)
f ( t ) = A * e^{k*t}

A ist der Anfangsbestand bei t = 0

Ist k positiv findet ein Wachstum statt.
ist k negativ verrringert sich der Anfangsbestand.

b.)
A = 6000
t = 30  min
f ( 30 ) = 6000 * e^{0.0347*30}
f ( 30 ) = 16992,23 = 17.000  | stimmt

f ( 60 ) = 6000 * e^{0.0347*60}
f ( 60 ) = 48123

c.)
Die Anzahl der maximal zulässigen Keime kenne ich nicht.

d.)
Verdopplungszeit heiß f ( t ) / A = 2 oder f ( t ) = 2 * A
f ( t ) = A * e^{0.000481*t} = 2 * A
A * e^{0.000481*t} = 2 * A
e^{0.000481*t} = 2  | ln ()
0.000481*t = ln ( 2 )
t = ln(2) / 0.000481
t = 1441 min
T = 1441 min
Speziell
T= ln(2) / 0.000481
Allgemein
T= ln(2) / k

e.)
Ich verweise auf den Kommentar. P1, P2, P3
Allerdings ist P3 nicht richtig. Hier muß es heißen
P3: 6000*e^{24*60+0,000481}*e^60*0,0347