Differenzialrechnung: Räuber - Beute - Beziehung! (Marienkäfer/Läuse)

Question

Es geht um eine Räuber - Beute - Beziehung! (Marienkäfer/Läuse)

Die Funktionsgleichungen lauten:

Für die Marienkäfer: f_M= sin(π/50x)+2

Für die Läuse: f_L= 5•sin((π/50)•(x+25))+6

Aufgabe:

Erläutere, wie es zu diesem zeitlich verschobenen Populationsbestand der Marienkäfer gegenüber dem der Läuse kommen kann. (Siehe Bild)

2. Bestimme alle Extremstellen und Wendepunkte der Lauspopulation und erkläre ihre Bedeutung im Kontext.

an alle Helfer!

Comments

Musst Du die gegebenen Lösungen aus den Dgl. Gleichungen für das Lotka-Volterra-Räuber-Beute-Modell ableiten, also insbesondere auch die zeitliche Verschiebung der Populationsbestände gegeneinander, oder sind diese gegeben?

Wenn lezteres zutrifft, musst Du nur die Extremwerte und Wendestellen der Sinusfunktion bestimmen was ja nicht so schwer sein sollte.

Anschaulich ist ja klar, wenn viele Beutetiere existieren können sich die Räuber vermehren weil mehr Nahrung da ist aber auch wieder abnehmen, wenn zu viele Beutetiere gefressen worden sind. Da dies ein kontinuerlich ablaufender Prozess ist muss es auch eine zeitliche Verschiebung geben.

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Ja ich muss sie ableiten.

Ich danke dir :) Ich versuch das mal mit den Extrem- und Wendestellen. Bin mir da aber auch noch unsicher aber trotzdem danke!

Lg

Answer 1

Zuerst steigt die Anzahl der Läuse auf ein Maximum die
dann von den Marienkäfern gefressen werden.
Danach erreicht die Anzahl der Marienkäfer ein Maximum.
Mit dem Minimum verhält es genau so.

2.) f_L= 5•sin((π/50)•(x+25))+6
f ´( x ) = 5 * sin((π/50)•(x+25)) * ( π / 50 )
f ´( x ) = π / 10 * cos((π/50)•(x+25))
f ´( x ) = π / 10 * - sin ((π/50)•(x+25)) *  ( π / 50 )
f ´´( x ) = - π^2 / 500 * sin((π/50)•(x+25))

Vorsicht : x in Grad ???

Extremstelle
π / 10 * cos((π/50)•(x+25))  = 0
cos((π/50)•(x+25))  = 0
arccos(cos((π/50)•(x+25))  ) = arccos(0)
(π/50)•(x+25)) = π / 2
x + 25 = 25
x = 0
( und jetzt noch Periodenlänge einfließen lassen, siehe Skizze )

Wendestelle
- π^2 / 500 * sin((π/50)•(x+25)) = 0

Alle Angaben ohne Gewähr

Comments

Guten Tag erstmal, ich danke dir wirklich sehr für deine Mühe, du hilfst mir sehr!

Ich habe da einige Fragen, falls das ok ist.

Wieso hast du bei der ersten Ableitung ein '(π/50)' hinten rangehängt? Das war mir noch unklar :/

Und was ist mit 'Vorsicht: x in Grad' gemeint? Kann man das auch in Bogenmaß angeben oder wie?

Nochmals danke dir! Wirklich :)

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[ sin ( term ) ] ´ = cos ( term ) * ( term ´ )

[ sin ( (π/50) • (x+25) ) ] = cos ( (π/50) • (x+25) ) *  [ (π/50) • (x+25)  ] ´
[ sin ( (π/50) • (x+25) ) ] = cos ( (π/50) • (x+25) ) *  [ π/50 ]

In den meisten Fällen / üblicherweise erfolgt die Angabe eines
Winkels in der sin-Funktion im Bogenmass.
Denke an den Graph der sin-Funktion. Dort ist die x-Achse
in 0, π/2 , π, 3/2π, 2 * π unterteilt.
In der Skizze die du eingestellt hast ist eine andere Skala
angegeben. Ich denke dem Sachverhalt entsprechend könnten
es wohl Tage sein.

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Ahhh alles klar jetzt hab ichs verstanden! Super

Ach so ja das stimmt. Ich habe Tage genommen, musste ich laut Aufgabe sogar.

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Wie kommst du auf diese Schritte?
f ´( x ) = π / 10 * cos((π/50)•(x+25)) f ´( x ) = π / 10 * - sin ((π/50)•(x+25)) *  ( π / 50 ) 

Wie kommst du auf die π/10 und wieso hast du cos nochmal zu -sin abgeleitet?

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2.)
f_L =  5 • sin((π/50)•(x+25))  +6

Fürs Ableiten :
5 ist eine Konstante ( Konstantenregel )
+6 wird zu 0

Allgemein : ( sin ( term ) ) ´  wird zu cos ( term ) *  ( term ´ )
term = ( π/50 ) • ( x + 25 )
( π/50 ) ist eine Konstante
x + 25  ableiten
x abgeleitet = 1
25 abgeleitet = 0
x + 25 abgeleitet = 1
[ term ] ´= [ ( π/50 ) • ( x + 25 ) ] ´ = π/50 * 1 = π/50

f ´( x ) = 5 * cos((π/50)•(x+25)) * ( π / 50 )
f ´( x ) = 5 * ( π / 50 )  * cos((π/50)•(x+25))
f ´( x ) = π / 10 * cos((π/50)•(x+25))

Die 2.Ableitung funktioniert genauso. Allerdings wird aus
( cos ( term ) ) ´  wird zu - sin ( term ) *  ( term ´ )

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Danke dir!

Wäre die zweite Ableitung also:

f''(x)= π/10 • (-sin (π/50•(x+25)) ) • π/50

Und die dritte dementsprechend:

f'''(x)= π/10 • (- cos (π/50•(x+25))) • π/50 • π/50

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Ja.
(Dies ist nur noch Fülltext).

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Wie könnte ich die beiden Ableitungen zusammenfassen?

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Was willst du damit bezwecken ?

Ausgangsfunktion = Läusepopulation als Funktion der Zeit

1.Ableitung : die Funktion der Steigung der Ausgangsfunktion
nutzbar zur Bestimmung der Extremstellen

2.Ableitung : die Funktion der Krümmnung nutzbar zur
Bestimmung der Wendestellen.

Answer 2

Hi,
wenn Du die Lösungen des Räuber-Beute-Modells wirklich ableiten (im Sinne von herleiten) möchtest, musst Du folgendes Dgl. System lösen.
$$ (1) \quad \dot p_1(t) = p_1(t) \cdot (\alpha_{12} \cdot p_2(t)-\alpha_1) $$
$$ (2) \quad \dot p_2(t) = p_2(t) \cdot (\alpha_2-\alpha_{21} \cdot p_1(t)) $$
wobei \(  p_1(t)\) die Entwicklung der Räuberpopulation und \( p_2(t) \) die Beutepopulation beschreibt.
Für die stationären Lösungen \( \overline{p_1} \) und \( \overline{p_2} \) gilt entweder \( \overline{p_1} = \overline{p_2} = 0 \) oder es muss gelten
$$ (3) \quad \overline{p_1}=\frac{\alpha_2}{\alpha_{21}}  $$ und
$$ (4) \quad \overline{p_2}=\frac{\alpha_1}{\alpha_{12}}  $$
Man kann jetzt zeigen, dass die Lösungen des Dgl. Systems um die Lösungen \( (3) \) und \( (4) \) oszillieren in dem man den Ansatz macht
$$ p_1(t) = \overline{p_1(t)} + \delta_1(t) $$
und
$$ p_2(t) = \overline{p_2(t)} + \delta_2(t) $$
Für \( \delta_1(t) \) und \( \delta_1(t) \) ergeben sich dann folgende Lösungen,
$$ (5) \quad \delta_1(t)=A_1cos(\omega t)+B_1sin(\omega t) $$
und
$$ (6) \quad \delta_2(t)=A_2cos(\omega t)+B_2sin(\omega t) $$
mit \( \omega=\sqrt{\alpha_1 \alpha_2}  \)
Eine gute Zusammenfassung findets Du hier

http://didaktik1.mathematik.hu-berlin.de/files/bericht_ebert.pdf

Grundsätzlich erkennt man aber schon jetzt, das die Struktur der Lösung mit Deiner gegebenen übereinstimmt. Du brauchst jetzt noch die Anfangswerte für \( p_1(0) \) und \( p_2(0) \) dann kann man die Lösungen für \( (5) \) und \( (6) \) bestimmen.

Comments

Sie stimmen über ein, super!

Ich versuche deine Rechnungen noch einmal zu hundertprozentig nachzuvollziehen, bei Fragen melde ich mich nochmals.

Ich danke dir sehr für deine Hilfe! :) Sehr lieb von dir.