Funktionsgrenzwert bestimmen ohne l'Hospital

Question

Es soll Untersucht werden ob der Funktionsgrenzwert existiert und ihn ggf. angeben. (ohne zur Hilfenahme der Regel von l'Hospital)

So recht komme ich hier nicht weiter. Vlt. kann mir hier jemand das weiter vorgehen skizzieren.

a) $$\lim_{x \to 0}(1+e^x)^{-1}=\lim_{x \to 0}(\frac{1}{1+1})=\frac{1}{2}$$

b) $$\lim_{x \to 4} \frac{x^2}{2-\sqrt{x}}=\frac{4^2}{2-\sqrt{4}}=\frac{16}{0} \\-> nicht\ def.$$

c) $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}}{x}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{0}=?$$

d) $$\lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x-2}-2}{x-6}$$

e) $$\lim_{x \to 0} \frac{5x^3-6x^4}{6x^3+x^4}$$

f) $$\lim_{x \to 1} (\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1-x^2})$$

Vielen Dank

Answer 1

du brauchst auch bei keiner dieser Aufgaben L'Hopital

a) richtig, einfach einsetzen.

b) Wenn ihr schon L'Hopital gemacht habt dann müsste dir bekannt sein, dass der Grenzwert von der Form

"Zahl/0" gegen unendlich geht.

c)  Erweiter den Bruch mit \( \sqrt{x+2} + \sqrt{2-x} \), kürze und setze ein.

d) Erweiter den Bruch mit \( \sqrt{x-2}+2 \) und vergleiche mit b)

e) Auklammern, kürzen, einsetzen

f) Auf einen Bruch bringen einsetzen und dann mit b) vergleichen.

Gruß

Comments

Danke, für die Hinweise.

Bei c) und d) komme ich aber nicht auf das richtige Ergebnis. (überprüft mit wolframalpha)

c) $$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}}{x}*\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}}=\lim_{x \to 0}\frac{x+2-2-x-\sqrt{4-x^2}+\sqrt{4-x^2}}{x\sqrt{x+2}+x\sqrt{2-x}}=\frac{0}{0}$$

Lauf Wolfram ist der Grenzwert $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$

d)$$\lim_{x \to 6}\frac{\sqrt{x-2}-2}{x-6}*\frac{\sqrt{x-2}+2}{\sqrt{x-2}+2}=\lim_{x \to 0}\frac{x-6}{x\sqrt{x-2}-6\sqrt{x-6}+2x-12}=\frac{6-6}{4-12}=\frac{0}{-8}$$

Lösung sollte $$\frac{1}{4}$$ sein.

Habe ich bei der Auflösung einen Fehler gemacht, denn ich bisher nicht gesehen habe?

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Du verrechnest dich

bei c) Vorzeichenfehler im Zähler, \( -\sqrt{2-x} \cdot \sqrt{2-x} = -(2-x) = -2 +x \) also:

$$ ...=\lim_{x \to 0}\frac{x+2-2+x-\sqrt{4-x^2}+\sqrt{4-x^2}}{x\sqrt{x+2}+x\sqrt{2-x}}=\frac{2x}{x(\sqrt{x+2} + \sqrt{2-x})} $$

hier kannst du nun x kürzen, x=0 einsetzen und kriegst dein Ergebnis aus Wolframalpha.

bei d) hast du im Nenner falsch ausmultipliziert, brauchst du aber in diesem Fall gar nicht:

$$\lim_{x \to 6}\frac{\sqrt{x-2}-2}{x-6}\cdot \frac{\sqrt{x-2}+2}{\sqrt{x-2}+2}=\lim_{x \to 6}\frac{x-6}{(x-6) \cdot (\sqrt{x-2}+2) }$$

hier ebenfalls wieder Kürzen und Einsetzen  und du kommst auf das Ergebnis von Wolframalpha.