Zeigen Sie, dass eine Zahlenfolge a_{n} genau dann konvergiert, wenn folgende Teilfolgen konvergieren.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass eine Zahlenfolge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) genau dann konvergiert, wenn die Folgen

\( \left(a_{2 n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, \quad\left(a_{2 n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}} \quad \text { und } \quad\left(a_{5 n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \)

konvergieren.

Bleibt die Aussage gültig, wenn Sie die letzte Folge in (1) durch \( \left(a_{6 n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ersetzen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

1. Teil: vgl. https://www.mathelounge.de/177226/folge-konvergiert-wenn-diese-teilfolgen-konvergieren-beweis

Zum zweiten Teil:

Das wäre der Fall, wenn alle natürlichen Zahlen ab einer gewissen Grösse durch 6 teilbar, ungerade oder durch 5 teilbar wären.

Die Nummern 2, 4, 8, 12, ... gehören hier nicht dazu.

Das sind Zahlen der Form k = 6n + 2 oder k = 6n +4, die nicht durch 5 teilbar sind. Von denen gibt es unendlich viele, da durch 5 teilbare Zahlen immer den Abstand 5 voneinander haben und (6n + 4)- (6n+2) = 2 nur den Abstand 2 haben.

Comments

Ich sehe gerade, dass die 3. Folge gemeint war. (nicht die erste)

Dann klappt das auch nicht. Ein Gegenbeispiel wäre

a_n : = (1 + 1/n)^{-1}

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Aber A6 n ist doch eine teilfolgen von a2n oder !

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Verstehst du 'genau dann wenn'.

Da müsste die Umkehrung auch gelten und das ist hier falsch. Du kannst nicht folgern, dass (an) konvergiert, wenn die erwähnten Teilfolgen konvergieren.