Ich möchte diese Aufgabe aus der Finanzmathematik mit Hilfe von Lagrange lösen:
Ralph hat eine Nutzenfunktion der Form \( U_{A}\left(c_{0}, c_{1}\right)=\sqrt{c_{0} \cdot 4 c_{1}} . \) Außerdem verfügt Ralph gerade über 260 Euro und er denkt darüber nach, ob er dieses „Vermögen" (teilweise) in \( \mathrm{t}=0 \) konsumieren, horten (d. h. Zinssatz \( 0 \% \) ) oder vielleicht in ein oder mehrere kleine Projekte investieren möchte. Um diese Entscheidung zu treffen, spielt zwei er Szenarien durch.
a) Kein Kapitalmarkt, mit Investitionsmöglichkeiten:
Ralph widmet sich zunächst den Investitionsmöglichkeiten. Folgende Projekte für Kleinanleger hat er recherchiert:
| Projekt | Firma | Investitionsbetrag | Rückfluss |
| IP 1 | Moe's Tavern | -85 | 88 |
| IP 2 | Kwik-E-Mart | -190 | 260 |
| IP 3 | Leftorium | -115 | 175 |
Die Investitionsprojekte können jeweils nur ganz oder gar nicht und jeweils nur einmal durchgeführt werden. Ermitteln Sie analytisch den optimalen Investitions- und Konsumplan für Ralph. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
Ermitteln Sie für jede mögliche Kombination der Investitionsprojekte (=Investitionsplan) Ralphs optimalen Konsumplan. Berechnen Sie das aus den möglichen Konsumkombinationen resultierende Nutzenniveau und bestimmen Sie, für welche Kombination der Investitionsprojekte er sich entscheiden sollte. Stellen Sie Ihr Ergebnis grafisch dar (erreichbare Konsumkombinationen mit Investition + Indifferenzkurve). [Grafik 1]
(Hinweis: Beachten Sie die jeweiligen Restriktionen für \( c_{0} \) und \( \mathrm{c}_{1} \), die sich daraus ergeben, dass Ralph sich nicht verschulden kann. Können Sie evtl. einige Kombinationen von vornherein ausschließen?)
Es geht mir zunächst nur um den Aufgabenteil mit dem Konsumplan. Solche Aufgaben lassen sich ja u.a. auch mit Lagrange lösen, ich weiß hier allerdings nicht, wie meine Nebenbedingung aussieht.
