Zeigen sie dim(U)-dim(f(U))≤dim(V)-rg(f)

Question

Hi, bräuchte bei folgender Aufgabe eine kleine Hilfestellung.

Sei f:V -> W eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen K-Vektorräumen V und W.
Sei U ein Unterraum von V. Wir definieren einen Unterraum f(U) von W durch f(U)={f(u) | u ∈U}

Zeigen Sie: dim_K(U)-dim_K(f(U)) ≤ dim_K(V)-rg(f)

Bisher habe ich:
 dimKer(U) - dimIm(U) - dimKer(f(U)) + dimIm(f(u)) ≤ dim_K(V) - rg(f) = dimKer(f(U))

-Ist das bisher richtig?

-Was habe ich davon/wie komme ich weiter?

Answer 1

f(U) ist ein Vektorraum, keine Abbildung, daher ist Ker(f(U)) nicht definiert. Bezeichne g die Einschränkung von f auf U. So ist die zu zeigende Ungleichung äquivalent zu: $4$im(Ker(g)) \leq dim (Ker(f))$$, und das gilt da $$Ker(g) \subseteq Ker(f) $$