Einem gleichseitigen Dreieck (Seitenlänge = 1dm) soll ein Rechteck mit grösstmöglichem Flächeninhalt A einbeschrieben werden. Bestimmen Sie die Seiten des Rechtecks und den maximalen Flächeninhalt.
Mein Problem: Meine Lösung für die eine Rechtecksseite stimmt, die andere weicht von der Musterlösung ab.
Mein Ansatz: Ich habe das gleichseitige Dreieck zuerst halbiert. Als gesuchtes x habe ich die Strecke bezeichnet, welche HIER als n dargestellt ist. Ich komme dann ohne Probleme auf x=b/2 (b = Seitenlänge), was aussagt, dass der Schnittpunkt der Rechtecksecke mit der Seitenlänge die Seitenlänge gerade halbiert.
Nun zu den Rechtecksseiten:$$Länge=\frac {1}{2}\cdot sin(\alpha)=0,25$$$$Breite = \frac {1}{2}\cdot cos(\alpha)=\frac {\sqrt {3}}{4}$$So, und jetzt kommt das Problem: Wir haben ja bislang nur die Hälfte des gesamten gleichseitigen Dreiecks betrachtet, folglich bin ich der Meinung, ich muss sowohl die erhaltene Länge als auch die erhaltene Breite verdoppeln. In der Musterlösung ist aber lediglich die Länge verdoppelt.
Wieso? :O
