Für welche a ∈ R ist die folgende Matrix A invertierbar?

Question

A) Für welche a ∈ R ist die folgende Matrix A invertierbar?  Geben Sie die Inverse an.

        1    1     0

A =  1    a     0  

        1    1     a

Ich hab durch probieren a = 2 herausbekommen, aber es gibt sicher mehr, wie komm ich da rauf??

B) Bestimmen Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b in Abhängigkeit von dem Parameter r ∈ R (und von a ∈ R). Führen Sie die Probe durch!

         1

 b =   0

          r

Bei der Teilaufgabe hab ich keine Ahnung wie ich rangehen soll....

Comments

für A)

ist es a element R a ungleich 0 und 1

aber wie mach ich das?

---

zu a): Alternativ bietet sich in diesem Beispiel an über die Determinante zu rechnen.

Eine Matrix ist invertierbar wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.

Answer 1

Die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist. Regulär ist sie genau dann, wenn sie vollen Rang hat, also ihre Spalten- oder Zeilenvektoren linear unabhängig sind. Lineare Abhängigkeit ist gegeben wenn die Linarkombination

$$ u\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}+v\begin{pmatrix} 1\\a\\1 \end{pmatrix}+w\begin{pmatrix} 0\\0\\a \end{pmatrix} =0$$

eine Lösung bietet. Dieses GLS kannst Du nun mit Gauss lösen. A ist hernach genau dann invertierbar falls a nicht aus  dieser Lösungsmenge stammt. ( a = 0 und a=1 hast Du richtig).

Für b setzt Du ebenfalls mit dem Gauss-Algoritmus an. Die erweiterte Koeffizientenmatrix dafür sieht dann so aus:

$$\begin{pmatrix}  1 & 1 & 0 & \big| 1 \\  1 & a & 0 & \big| 0 \\  1 & 1 & a & \big| r \end{pmatrix}  $$

Das löst Du nun. Die Lösung x₃ = (r-1)/a zeigt Dir was mit "in Abhängigkeit von r und a" gemeint ist. Auch hier sieht man schnell ein, dass a nicht 0 sein darf. Für x₂ ergibt sich: x₂ =1/(1-a) und man sieht, das a auch nicht 1 sein darf. Die letzte Komponente von x findest Du bestimmt selbst. ;)

Comments

ich habe verstanden :)

vielen dank!!

aber ich hab für x2 = - 1/(a-1)

und für x1 = a/(a-1)

hab ich mich da verrechnet? weil wenn ich die Probe mach stimmt es o.O

---

Also es kann natürlich sein, dass ich mich da mit dem Vorzeichen irgendwo vertan habe... Wenn Deine Probe passt, ist ja alles gut. Hauptsache Du hast den Weg verstanden ;)

Answer 2

Ich mach das jetzt mit einem Matrizenrechner.

https://matrixcalc.org/de/#{{1,1,0},{1,a,0},{1,1,a}}^2

Der Grundgedanke; jede matrix löst ihre eigene Säkulardeterminante:

A  ³  +  b2 A  ²  +  b1  A  +  b0  *  1|   =  0  |  *  A ^ -1     (  1a  )

A  ²  +  b2  A  +  b1  *  1|  +  b0  A ^ -1 =  0     (  1b  )

1    1     0

                                     1    a     0       =:  A                       (  2a  )

                                         1    1     a

                                                                  2      a+1        0
                                                               a+1    a^2+1      0          =  A  ²          (  2b  )
                                                              a+2    2*a+1     a^2

                                                              a+3         a^2+a+2             0
                                                         a^2+a+2      a^3+2*a+1         0            =  A  ³                   (  2c  )
                                                        a^2+3*a+3    3*a^2+2*a+2    a^3

Bereits in  (  2a  ) wird klar:  a ist Eigenwert von A  ; für a = 0 wird A singulär . Wir berechnen jetzt ( 1a ) für Matrixelement ( 1 ; 2 ) und anschließend für ( 3 ; 1 )

(  a  +  1  )  b2  +  b1  =  -  (  a  ²  +  a  +  2  )          (  3a  )

(  a  +  2  )  b2  +  b1  =  -  (  a  ²  +  3  a  +  3  )       (  3b  )

b2  =  -  (  2  a  +  1  )     (  3c  ) 

b1  =  2  a  ²  -  (  a  -  1  )  ²     (  3d  )

(  (  3d  )  mit Unterstützung von Wolfram )   Für (  3c  )  hast du eine Probe aus dem Satz von Vieta

b2  =  -  (  E1  +  E2  +  E3  )  =  -  Sp  (  A  )            (  4  )

Jetzt zwecks   Ermittlung von a0  Element ( 1 ; 1 )

2  b2  +  b1  +  b0  =  a  ²  -  2  a  -  3  +  b0  =  -  (  a  +  3  )    (  5a  )

b0  =  -  a  (  a  -  1  )    (  5b  )

Abermals hast du die Vietaprobe; denn

b0  =  -  E1  E2  E3  =  -  det  (  A  )        (  5c  ) 

Wir hatten gesagt, E3  =  a ist Eigenwert. Welche gibt es noch? Ich mach das jetzt nicht mit Polynomdivision, sondern mittels der von mir entwickelten ersten und zweiten ===> Alfonsinischen pq-Formel. Mit Vieta sind die ( fast ) selbst erklärend:

b2  =  -  (  p  +  E3  )  =  -  (  2  a  +  1  )  ===>  p  =  a  +  1     (  6a  )

b0  =  -  q  E3  =  -  a  (  a  -  1  )  ===>  q  =  a  -  1     (  6b  )

x  ²  -  (  a  +  1  )  x  +  a  -  1  =  0     (  6c  )

Warum hab ich das jetzt eigens gemacht? Weil du in ( 6c ) die zweite Singularität kriegst, wenn a = 1  . Das haben wir jetzt auch verstanden.

Comments

Kurzer Hinweis: Linksbündig wäre schön, besser wäre noch TeX. Und nicht so viele Leerzeilen...

Zudem wurde die Frage bereits vor 5 Monaten beantwortet.