Winkelgeschwindigkeit und Frequenz

Question

In der Hoffnung, dass hier unter den Mathematikern auch Physiker rumlaufen,

bitte ich mir bei folgendem Sachverhalt zu helfen.

Es gilt die Formel: ω=2π*f

Wenn aber Omega die Einheit [Radiant/s] hat müsste das "2pi" nicht auf der linken Seite stehn?

Denn f hat ja die Einheit [Umdrehung/s], somit "bräuchte" Omega die 2 pi um auf 360 Grad, also eine

Umdrehung zu kommen. Kann mir das jemand erklären?

Comments

1 Umdrehung entspricht 2\(\pi\) rad.

f [Umdrehung/s] * 2\(\pi\) [rad/Umdrehung] = \(\omega\) [rad/s].

Wenn du \( \omega \) in Grad haben willst:

f [Umdrehung/s] * 360 [°/Umdrehung] = \(\omega\) [°/s]

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Das klingt schon recht gut,
aber warum ist die Einheit von 2pi[rad/ Umdrehung] ?

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Weil eine ganze Umdrehung im Kreis \( 2\pi\) rad ist. Das sind ja unterschiedliche Einheiten. Vergleichbar mit dem einfachen Dreisatz:

Wenn 5 kg Äpfel 10 € Kosten dann ist der Preis \(2\) €/kg oder in Wort: Zwei Euro pro Kilogramm.

Answer 1

ω=2π*f  Für die Einheiten gilt

[ω]=2π*[f]   denn 2pi ist ja eine Zahl ohne Einheit

1/s  = 1 *   1/s   passt.

Comments

Klar das ist mir natürlich einleuchtend, aber versuch mal zu erklären warum gerade
2 pi* frequenz= Winkelgeschwindigkeit ist?

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Nach Wiki wird nämlich gesagt, dass es eben [rad/s] ist, was auch einen Sinn ergibt
denn radiant ist ja auch dimensionslos, aber trotzdem ist radiant eben NICHT gleich 1!

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winkelgeschwindigkeit ist doch winkel pro sekunde (oder andere Zeiteinheit)

und der winkel wird (wie du sagst dimensionslos) gemessen und ist z.B. x

also etwa  ω pro Sekunde.

Frequenz ist Umdrehung pro Sekunde

Eine ganze Umdrehung entspricht aber dem Winkel 2pi

also z.B Dreisatz      ω    entsprich 1 Sekunde.

1 (rad) bzw. 1  entspricht   1/   ω   Sekunden

2pi   entspricht   2pi * 1 / ω

Also haben wir für eine Umdrehung   2pi  / ω    sekunden

das wäre dann   1/ f =  2pi / ω

wenn du jetzt umformst hast du wieder

            ω   = 2pi * f

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Das ergibt keinen Sinn.
Dein Omega ist jetzt was in deinem Dreisatz?
Hier mein Gegenbeispiel.
Winkelgeschwindigkeit ist radiant pro sekunde .
Geschwindigkeit wird zum Beispiel in Metern pro Sekunde gemessen.
Somit ist 5m/s = pro Sekunde werden 5 Meter zurück gelegt.
Der Radiant ist gerade der 2πtelste Bruchteil eines Kreises !
Mit andern Worten:

Omega= 3/s heißt, es wir 3 mal der Radiant zurückgelegt in einer Sekunde.

Jetzt müsste ich Omega=2*pi/s haben dann würde ich ja auf eine volle Umdrehung pro Sekunde kommen,
also auf Frequenz. Aber leider haben wir nicht omega*2pi sonder. Frequenz*2pi.

Also wird auf der einen Seite, die nach der Definition der Frequenz  ja schon volle Umdrehungen zählt, NOCHMAL 2pi genommen, während auf der andern seite, wo wir ja nur radiant, also den 2πtelste Bruchteil des Kreises haben, kein 2*pi steht.

Ich hoffe ich konnte mein Verständnisproblem deutlich machen.

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tut mir leid, kann nicht folgen.

Allerdings

Omega= 3/s heißt, es wir 3 mal der Radiant zurückgelegt in einer Sekunde.

Ist falsch interpretiert.

D,h, es wird 3 Einheiten im Einheitskreis pro s zurückgelegt.

entspricht nem Winkel von ca. 172°.

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Von mir aus auch das. Ich versuchs nochmal anders zu erklären.
Mein Verständnis:

Frequenz: Volle Umdrehung pro Sekunde
Winkelgeschwindigkeit: Nicht ganz volle Umdrehung pro Sekunde(halt nur Radiant)

Jetzt setzten wir die gleich.

Ums mit ner Waage zu vergleichen:

Frequenz ist schwerer als Winkelgeschwindigkeit, jetzt hängen wir auf die Frequenz aber noch ZUSÄTZLICH was drauf obwohl die Winkelgeschwindigkeit dieses Gewicht bräuchte um auszugleichen.

Denn nach meinem Verstädnis

Sei Omega= 1/s

Dann ist 2*pi*Omega= Frequenz

Und eben nicht umgekehrt.

Kann man das jetzt besser verstehn was ich mein? :D

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vielleicht noch konkreter:

Frequent 0,5 hieße  o,5 Umdrehungen pro s.

o,5 Umdrehungen entspricht einem Winkel von 180° oder eben rad = pi

Also Winkelgeschwindigkeit   pi / s

jetzt mit der Formel

ω=2π*f

pi / s = 2 pi * o,5 /s passt doch !

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Das Problem ist halt, dass ich die Herleitung nicht checke,

und eine Formel ist halt leider nicht hergeleitet, in dem man was einsetzt und sagt "passt".

Versuche mir gerade einleuchtend zu machen wo das herkommt und ich seh die Logik hinter dieser Unverhältnismäßigkeit nicht..